Nói một cách đơn giản, một phương trình vi phân bao gồm các đạo hàm, có thể là đạo hàm thông thường hoặc đạo hàm riêng.
Thí dụ:
d2ydx2+(dydx)2
d2ydt2+dydt= 5 giây tôi n t
Phân loại phương trình vi phân
Cây dưới đây là phân loại chung của phương trình vi phân.
Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu tất cả các loại với lời giải chi tiết.
Phương trình vi phân- Dựa trên loại
Có hai loại phương trình vi phân:
- Phương trình vi phân thường
- Phương trình vi phân từng phần
Phương trình vi phân thường
Phương trình vi phân thông thường phụ thuộc vào một biến độc lập duy nhất.
Ví dụ: dydx+ 5 x = 5 y
(b) Phương trình vi phân từng phần
Nó liên quan đến các đạo hàm riêng.
∂y∂x+∂y∂t=x3–t3 ………. (i)
∂2y∂x2–c2∂2y∂t2= x 0 …………… .. (ii)
Phương trình vi phân- Dựa trên thứ tự
Bậc của hệ số vi phân cao nhất (đạo hàm) tham gia vào phương trình vi phân được gọi là bậc của phương trình vi phân.
Ví dụ: –d3ydx2+ 5dydx+ y=x–√
Ở đây, bậc = 3 là bậc của đạo hàm cao nhất có liên quan là 3.
Đối với các dẫn xuất, việc sử dụng ký hiệu trích dẫn đơn được ưu tiên hơn
y′=dydx .
y” =d2ydx2
y”′=d3ydx3
và như thế
Đối với các dẫn xuất bậc cao nó sẽ trở nên cồng kềnh sử dụng nhiều dấu ngoặc kép như vậy vì những dẫn xuất chúng tôi thích sử dụng các ký hiệu y n cho n thứ tự phái sinh .dnydxn
Hãy xem xét các ví dụ sau: –
(i) y ”+ 5y ‘- 6y = + 3xx2
(ii) x ‘= -x + 16
(iii) x ”’+ 2x’ = 0
Phương trình (i) là một phương trình vi phân bậc hai vì bậc của vi phân cao nhất có hiệu quả là 2.
Tương tự, ví dụ là một phương trình vi phân bậc nhất vì đạo hàm cao nhất là bậc 1.
Ví dụ là một phương trình vi phân bậc ba.
Phương trình vi phân – Dựa trên tuyến tính
Theo tuyến tính, nó có nghĩa là biến xuất hiện trong phương trình được nâng lên thành lũy thừa của một. Đồ thị của hàm số tuyến tính nói chung là một đường thẳng. Ví dụ: (3x + 5) là tuyến tính nhưng (x 3 + 4x 2 ) là phi tuyến tính.
Phương trình vi phân tuyến tính
Nếu tất cả các biến phụ thuộc và toàn bộ các đạo hàm của nó xảy ra tuyến tính trong một phương trình đã cho, thì nó biểu diễn một phương trình vi phân tuyến tính.
Phương trình vi phân không tuyến tính
Bất kỳ phương trình vi phân nào với các số hạng phi tuyến tính được gọi là một phương trình vi phân phi tuyến tính.
Hãy xem xét các ví dụ sau để minh họa:
Ví dụ 1: ……… (i)dydx+ x y= 5 x
d2ydx2– l n y= 10 ………. (ii)
Ví dụ 1:dydx+ x y= 5 x
Nó là một phương trình vi phân tuyến tính dưới dạng và cả hai đều tuyến tính.dydx
Ví dụ 2:d2ydx2– l n y = 10
Trong y không phải là tuyến tính. Do đó, phương trình này là phi tuyến tính.
Phương trình vi phân – Dựa trên tính đồng nhất
Hãy xem xét các chức năng sau:
f1( x , y) =y3+23xy2
f2( x , y) =x3÷y2x
f3( x , y) = t a n x + s e c y
Nếu chúng ta thay x và y lần lượt bằng αx và αy, trong đó α là hằng số khác 0 bất kỳ, chúng ta nhận được;
f1( x , y) = ( α y)3+23( α x ) ( α y)2=α3(y3+23x y) =α3f1( x , y)
f2( x , y) =( α x)3( α y)3( α x )=x3xy2=α∘f2( x , y)
f3( x , y) = t a n ( α x ) + s e x ( α y)
Chúng tôi quan sát thấy rằng,
f1,f2 có thể được viết dưới dạng nhưng điều này không thể áp dụng cho Do đó, nếu một hàm thỏa mãn điều kiện với một hằng số khác không α, nó được gọi là phương trình thuần nhất bậc n.f( α x , α y) =αnf( x , y)f3( x , y)f( α x , x y) =αnf( x , y)
Phương trình vi phân tuyến tính có dạng, biểu diễn một phương trình vi phân thuần nhất nếu RHS bằng không, tức là g (x) = 0, Elseit biểu diễn phương trình vi phân không thuần nhất nếu g (x) 0.fn ( x )yn+ … … . +f1( x )y′+ f0 ( x ) y= g( x )≠
Xem thêm:
Kiểm tra tích phân là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn. | |
Số nguyên dưới dạng số mũ là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn. | Số nguyên là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn. |