Số nguyên là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Z = {…… -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ……}

Số nguyên là gì?

Chúng ta có các loại số khác nhau trong Toán học, chẳng hạn như;

• Số thực
• Số tự nhiên
• Số nguyên
• Số hữu tỉ
• Số vô tỉ
• Số chẵn và số lẻ, v.v.

Số nguyên trong Toán học là gì?

Từ số nguyên có nguồn gốc từ từ tiếng Latinh “Integer” có nghĩa là toàn bộ. Đây là một tập hợp các số nguyên đặc biệt bao gồm số 0, số dương và số âm và được ký hiệu bằng chữ Z.
Ví dụ về Số nguyên: – 1, 6, 15.
Phân số, số thập phân và phần trăm không nằm trong giỏ này.

Ví dụ:  -2,4, 3/4, 90,6.

Biểu tượng

Các số nguyên được biểu thị bằng ký hiệu ‘ Z’. 

Z = {… -3, -2, -1,0,1,2,3, ..}

Quy tắc số nguyên

Các quy tắc được xác định cho số nguyên là:

• Tổng của hai số nguyên dương là một số nguyên
• Tổng của hai số nguyên âm là một số nguyên
• Tích của hai số nguyên dương là một số nguyên
• Tích của hai số nguyên âm là một số nguyên
• Tổng của một số nguyên và nghịch đảo của nó bằng 0
• Tích của một số nguyên và nghịch đảo của nó bằng 1

Bây giờ, chúng ta hãy thảo luận về các phép cộng, trừ, nhân và chia các số nguyên có dấu với các ví dụ.

Phép cộng các số nguyên đã ký

Trong khi cộng hai số nguyên có cùng dấu, hãy cộng các giá trị tuyệt đối và viết ra tổng có dấu cho các số.

Ví dụ,

(+4) + (+7) = +11

(-6) + (-4) = -10

Trong khi cộng hai số nguyên có dấu khác nhau, hãy trừ các giá trị tuyệt đối và viết ra hiệu bằng dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn nhất.

Ví dụ,

(-4) + (+2) = -2

(+6) + (-4) = +2.

Phép trừ các số nguyên đã ký

Trong khi trừ hai số nguyên, hãy đổi dấu của số thứ hai đang bị trừ và tuân theo các quy tắc cộng.

Ví dụ,

(-7) – (+4) = (-7) + (-4) = -11

(+8) – (+3) = (+8) + (-3) = +5

Phép nhân và phép chia các số nguyên đã ký 

Trong khi nhân và chia hai số nguyên, quy tắc rất đơn giản.

Nếu cả hai số nguyên có cùng dấu, thì kết quả là dương.

Nếu các số nguyên có dấu khác nhau, thì kết quả là âm.

Ví dụ,

(+2) x (+3) = +6

(+3) x (-4) = – 12

Tương tự

(+6) ÷ (+2) = +3

(-16) ÷ (+4) = -4

Thuộc tính của số nguyên

Các thuộc tính chính của số nguyên là:

1. Tài sản đóng cửa
2. Bất động sản kết hợp
3. Tính chất giao hoán
4. Thuộc tính phân tán
5. Thuộc tính nghịch đảo cộng
6. Thuộc tính nghịch đảo nhân
7. Thuộc tính nhận dạng

Tài sản đóng cửa

Theo thuộc tính đóng của số nguyên, khi hai số nguyên được cộng hoặc nhân với nhau, kết quả chỉ là một số nguyên. Nếu a và b là số nguyên, thì:

• a + b = số nguyên
• axb = số nguyên

Ví dụ:

2 + 5 = 7 (là một số nguyên)

2 x 5 = 10 (là một số nguyên)

Tính chất giao hoán

Theo tính chất giao hoán của số nguyên, nếu a và b là hai số nguyên thì:

• a + b = b + a
• axb = bxa

Ví dụ:

3 + 8 = 8 + 3 = 11

3 x 8 = 8 x 3 = 24

Nhưng đối với phép trừ và phép chia, tính chất giao hoán không tuân theo.

Bất động sản kết hợp

Theo thuộc tính kết hợp, nếu a, b và c là các số nguyên, thì:

• a + (b + c) = (a + b) + c
• ax (bxc) = (axb) xc

Ví dụ:

2+ (3 + 4) = (2 + 3) +4 = 9

2x (3 × 4) = (2 × 3) x4 = 24

Thuộc tính này chỉ áp dụng cho các phép toán cộng và nhân.

Thuộc tính phân tán

Theo thuộc tính phân phối của số nguyên, nếu a, b và c là các số nguyên thì:

ax (b + c) = axb + axc

Ví dụ: Chứng minh rằng: 3 x (5 + 1) = 3 x 5 + 3 x 1

LHS = 3 x (5 + 1) = 3 x 6 = 18

RHS = 3 x 5 + 3 x 1 = 15 + 3 = 18

Vì, LHS = RHS

Do đó, đã chứng minh.

Thuộc tính nghịch đảo cộng

Nếu a là một số nguyên, thì theo thuộc tính nghịch đảo cộng của số nguyên,

a + (-a) = 0

Do đó, -a là nghịch đảo cộng của số nguyên a.

Thuộc tính nghịch đảo nhân

Nếu a là một số nguyên, thì theo thuộc tính nghịch đảo nhân của số nguyên,

ax (1 / a) = 1

Do đó, 1 / a là nghịch đảo nhân của số nguyên a.

Thuộc tính nhận dạng của số nguyên

Các yếu tố nhận dạng của số nguyên là:

a + 0 = a

ax 1 = a

Ví dụ: -100, -12, -1, 0, 2, 1000, 989, v.v.

Dưới dạng một tập hợp, nó có thể được biểu diễn như sau:

Z = {…… -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ……}

Các loại số nguyên

Số nguyên có ba loại:

• Không (0)
• Số nguyên dương (Số tự nhiên)
• Số nguyên âm (Nghịch đảo cộng của số tự nhiên)

Số không

Số không không phải là số nguyên dương cũng không phải là số nguyên âm. Nó là một số trung lập tức là số 0 không có dấu (+ hoặc -).

Những số nguyên dương

Số nguyên dương là số tự nhiên hay còn gọi là số đếm. Những số nguyên này đôi khi cũng được ký hiệu là Z + . Các số nguyên dương nằm ở phía bên phải của 0 trên một trục số.

Số nguyên phủ định

Các số nguyên âm là âm của các số tự nhiên. Chúng được ký hiệu là Z – . Các số nguyên âm nằm ở phía bên trái của 0 trên một trục số.

Các ứng dụng

Số nguyên không chỉ là những con số trên giấy; chúng có nhiều ứng dụng trong đời thực. Ảnh hưởng của số dương và số âm trong thế giới thực là khác nhau. Chúng chủ yếu được dùng để tượng trưng cho hai tình huống trái ngược nhau.

Ví dụ, khi nhiệt độ trên 0, các số dương được sử dụng để biểu thị nhiệt độ, trong khi các số âm cho biết nhiệt độ dưới 0. Chúng giúp người ta so sánh và đo lường hai thứ như mức độ lớn hay nhỏ hoặc nhiều hơn hoặc ít hơn và do đó có thể định lượng mọi thứ.

Một số tình huống thực tế trong đó các số nguyên được sử dụng là điểm số của người chơi trong các giải đấu gôn, bóng đá và khúc côn cầu, xếp hạng của các bộ phim hoặc bài hát, trong các khoản tín dụng và ghi nợ ngân hàng được biểu thị tương ứng là số dương và số âm.

Ví dụ đã giải quyết

Câu 1: Vẽ biểu đồ của các số nguyên sau trên trục số:

-121, -97, -82, -67, -43, -10, 0, 10, 36, 55, 64, 77, 110, 126, 147.

Câu trả lời:

Trong dãy số trên, mỗi số được đánh dấu bằng một chấm đỏ.

Q.2: Giải quyết vấn đề sau:

• 5 + 3 =?
• 5 + (-3) =?
• (-5) + (-3) =?
• (-5) x (-3) =?

Giải pháp:

• 5 + 3 = 8
• 5 + (-3) = 5 – 3 = 2
• (-5) + (-3) = -5 – 3 = -8
• (-5) x (-3) = 15

Q.3: Giải quyết vấn đề sau:

• (+5) × (+10)
• (12) × (5)
• (- 5) × (7)
• 5 × (-4)

Giải pháp:

• (+5) × (+10) = +50
• (12) × (5) = 60
• (- 5) × (7) = -35
• 5 × (-4) = -20

Q.4: Giải quyết vấn đề sau:

• (-9) ÷ (-3)
• (-18) ÷ (3)
• (4000) ÷ (- 100)

Giải pháp:

• (-9) ÷ (-3) = 3
• (-18) ÷ (3) = -6
• (4000) ÷ (- 100) = -40

Câu hỏi thực hành

1. Tổng của hai số nguyên dương là một số nguyên dương. Đúng hay sai?
2. Tổng của năm số nguyên dương đầu tiên là gì?
3. Tích của năm số nguyên dương lẻ đầu tiên là bao nhiêu?
4. Vẽ đồ thị các số nguyên từ -10 đến +10 trên trục số.