Quy tắc thương số là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Do đó, sự khác biệt của hàm được cho bởi:

[latex] \ large \ mathbf {f ‘(x) = \ left [\ frac {s (x)} {t (x)} \ right]’ = \ frac {t (x) .s ‘(x) – s (x). t ‘(x)} {\ left \ {t (x) \ right \} ^ {2}}} [/ latex]

Các quy tắc thương của sự khác biệt được định nghĩa là tỉ số của hai chức năng (chức năng 1 / Chức năng thứ 2), tương đương với tỷ lệ (Cách phân biệt chức năng 1st [latex] \ lớn \ times [/ latex] chức năng thứ 2 – Cách phân biệt thứ hai function [latex] \ large \ times [/ latex] the first function) thành bình phương của hàm thứ 2.

Ít hơn Biểu tượng là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Bằng chứng quy tắc thương số

Chúng ta biết, đạo hàm của một hàm số được cho là:

[latex] \ large \ mathbf {f ‘(x) = \ lim \ limit_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) – f (x)} {h}} [/ latex]

Do đó, đạo hàm của tỷ số của hàm là:

Do đó, quy tắc thương số được chứng minh.

Quy tắc thương số Đạo hàm cũng có thể được chứng minh bằng cách sử dụng quy tắc tích và các quy tắc phân biệt khác như được đưa ra dưới đây.

Giả sử hàm f (x) được định nghĩa là tỉ số của hai hàm, giả sử u (x) và v (x), thì đạo hàm của nó có thể được suy ra như giải thích dưới đây.

f (x) = u (x) / v (x)

Điều này cũng có thể được viết là:

f (x) = u (x) [u (x)] ^-1

Sử dụng quy tắc khác biệt của sản phẩm,

f ‘(x) = u’ (x) [v (x)] ^-1  + u (x) (d / dx) [v (x)] ^-1

Chúng ta biết rằng (d / dx) x ⁿ = nx ^n-1 ,

f ‘(x) = u’ (x) [v (x)] ^-1 + u (x). (- 1) [v (x)] ^-2 v ‘(x)

= [u ‘(x) / v (x)] – [{u (x) v’ (x)} / {v (x)} ² ]

= [u ‘(x) v (x) – u (x) v’ (x)] / [v (x)] ²

Đây cũng được gọi là quy tắc thương của u và v.

Do đó, công thức trên có thể được viết là:

Ví dụ về quy tắc thương số

Hãy để chúng tôi tìm ra một số ví dụ:

Ví dụ 1:

Tìm đạo hàm của [latex] \ tan x [/ latex] .

Giải pháp:

Chúng tôi biết, [latex] \ tan x = \ frac {\ sin x} {\ cos x} [/ latex]

[latex] \ left (\ tan x \ right) ‘= \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left (\ frac {\ sin x} {\ cos x} \ right) [ /mủ cao su]

[latex] = \ left (\ frac {\ cos x. (\ sin x) ‘- \ sin x (\ cos x)’} {\ cos ^ {2} x} \ right) [/ latex]

[latex] = \ left (\ frac {\ cos ^ {2} x + \ sin ^ {2} x} {\ cos ^ {2} x} \ right) [/ latex]

[latex] = \ left (\ frac {1} {\ cos ^ {2} x} \ right) [/ latex] [latex] = \ sec ^ {2} x [/ latex]

Ví dụ 2:

Tìm đạo hàm của [latex] \ sqrt {\ frac {5x + 7} {3x – 2}} [/ latex]

Giải pháp:

[latex] \ sqrt {\ frac {5x + 7} {3x – 2}} = \ frac {\ sqrt {5x + 7}} {\ sqrt {3x – 2}} [/ latex]

Áp dụng quy tắc thương số, chúng ta có

[latex] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left (\ sqrt {\ frac {5x + 7} {3x – 2}} \ right) = \ frac {\ sqrt {3x – 2}. \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left (\ sqrt {5x + 7} \ right) – \ sqrt {5x + 7}. \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ sqrt {3x – 2}} {3x – 2} [/ latex]

[latex] = \ frac {\ sqrt {3x – 2}. \ left (\ frac {5} {2. \ sqrt {5x + 7}} \ right) – \ sqrt {5x + 7}. \ left (\ frac {3} {2. \ sqrt {3x – 2}} \ right)} {3x – 2} [/ latex]

[latex] = \ frac {\ left (\ frac {5. \ sqrt {3x – 2}} {2. \ sqrt {5x + 7}} \ right) – \ left (\ frac {3. \ sqrt {5x + 7}} {2. \ sqrt {3x – 2}} \ right)} {3x – 2} [/ latex]

Lấy LCM, chúng tôi có

[latex] = \ frac {5. \ left (3x – 2 \ right) – 3. \ left (5x + 7 \ right)} {2 \ left (3x – 2 \ right) \ left (\ sqrt {3x – 2} \ right) \ left (\ sqrt {5x + 7} \ right)} [/ latex]

[latex] = \ frac {15x – 10 – 15x – 21} {2 \ left (3x – 2 \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ left (5x + 7 \ right) ^ {\ frac {1} {2}}} [/ latex]

[latex] = \ frac {-31} {2 \ left (3x – 2 \ right) ^ {\ frac {3} {2}} \ left (5x + 7 \ right) ^ {\ frac {1} {2 }}}[/mủ cao su]

Ví dụ 3:

Tìm đạo hàm của [latex] \ frac {(x + 3) ^ {4}} {\ sqrt {x ^ {2} +5}} [/ latex]

Giải pháp:

Áp dụng quy tắc thương số, chúng ta có

[latex] \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left (\ frac {(x + 3) ^ {4}} {\ sqrt {x ^ {2} +5}} \ right) = \ frac {\ sqrt {x ^ {2} +5}. \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} (x + 3) ^ {4} – (x + 3) ^ {4}. \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left (\ sqrt {x ^ {2} +5} \ right)} {x ^ {2} +5} [/ latex]

[latex] = \ frac {\ sqrt {x ^ {2} +5} .4 (x + 3) ^ {3} – (x + 3) ^ {4}. \ frac {2x} {2 \ sqrt {x ^ {2} +5}}} {x ^ {2} +5} [/ latex]

[latex] = \ frac {4. \ left (x ^ {2} +5 \ right). (x + 3) ^ {3} – x. (x + 3) ^ {4}} {\ left (x ^ {2} +5 \ right) ^ {\ frac {3} {2}}} [/ latex]

[latex] = \ frac {\ left (x + 3 \ right) ^ {3} \ left [4. \ left (x ^ {2} +5 \ right) – x. (x + 3) \ right]} {\ left (x ^ {2} +5 \ right) ^ {\ frac {3} {2}}} [/ latex]

[latex] = \ frac {\ left (x + 3 \ right) ^ {3} \ left [4x ^ {2} + 20 – x ^ {2} – 3x \ right]} {\ left (x ^ {2 } +5 \ right) ^ {\ frac {3} {2}}} [/ latex]

[latex] = \ frac {\ left (x + 3 \ right) ^ {3} \ left [3x ^ {2} -3x + 20 \ right]} {\ left (x ^ {2} +5 \ right) ^ {\ frac {3} {2}}} [/ latex]

Vấn đề thực hành

Thực hành các câu hỏi dưới đây để hiểu quy tắc thương một cách hiệu quả.

1. Tìm đạo hàm của f (x) = (x + 2) / (3x).
2. Tìm đạo hàm của hàm số f (x) = (2x + 3) / (x – 3).
3. Tìm công thức tính đạo hàm của cot x bằng quy tắc thương.
4. Tìm đạo hàm của f (x) = (x + cos x) / tan x