Định lý còn lại
Ví dụ, khi chúng ta chia một số, 25 cho 5, chúng ta nhận được 5 là thương và 0 là phần dư. Điều này có thể được diễn đạt như sau:
Cổ tức = (Số chia × Thương số) + Phần còn lại
tức là, 25 = (5 x 5) + 0
Ở đây phần dư là 0 do đó chúng ta có thể nói 5 là thừa số của 25 hoặc 25 là bội số của 5. Vì vậy, lời nhắc nhở cho chúng ta mối liên hệ giữa số bị chia và số chia. Chúng ta có thể chia một đa thức cho một đa thức khác và có thể biểu diễn theo cách tương tự.
Hãy chia một đa thức, p (x) = 4x 2 + x – 1 cho một đa thức khác (x + 1). Sau một phép chia dài, chúng ta sẽ nhận được thương, q (x) = 4x-3 và phần dư, r (x) = 2. Điều này có thể được biểu thị bằng:
4x 2 + x – 1 = (x + 1) × (4x-3) + 2
Giả sử p (x) và g (x) là hai đa thức mà bậc của p (x) > g (x) và g (x) ≠ 0. Khi chúng ta chia p (x) cho g (x), nếu chúng ta nhận được đa thức q (x) là thương và r (x) là phần dư, thì điều này có thể được biểu thị là:
p (x) = g (x) × q (x) + r (x)
Định lý phần dư của đa thức cho chúng ta mối liên hệ giữa phần dư và số bị chia của nó. Gọi p (x) là đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng một và ‘a’ là số thực bất kỳ. Nếu p (x) chia cho đa thức tuyến tính x – a thì phần dư là p (a). Đây là định lý phần dư. Nó giúp chúng ta tìm phần còn lại mà không cần phân chia thực tế. Chúng ta hãy xem xét ứng dụng của định lý phần dư với sự trợ giúp của một ví dụ.
Ví dụ 1: Tìm dư khi t 3 – 2t 2 + t + 1 chia hết cho t – 1.
Lời giải: Ở đây, p (x) = t 3 – 2t 2 + t + 1, và giá trị không của t – 1 là 1.
∴ p (1) = (1) 3 – 2 (1) 2 + 1 + 1 = 1
Theo Định lý Phần dư, 1 là phần dư khi t 3 – 2t 2 + t + 1 chia hết cho t – 1.
