Anh hùng của Alexandria là một nhà toán học vĩ đại, người đã suy ra công thức tính diện tích của một tam giác bằng cách sử dụng độ dài của cả ba cạnh. Nó cũng được gọi là Công thức của Anh hùng . Ông cũng mở rộng ý tưởng này để tìm diện tích của tứ giác và đa giác bậc cao. Công thức này có những ứng dụng to lớn trong lượng giác như chứng minh định luật cosin hay định luật cotang, v.v.

Công thức Heron cho diện tích tam giác

Theo Heron, chúng ta có thể tìm diện tích của bất kỳ tam giác nào, cho dù nó là hình vô hướng, cân hay đều, bằng cách sử dụng công thức, với điều kiện là các cạnh của tam giác.

Giả sử tam giác ABC có các cạnh lần lượt là a, b và c. Do đó, diện tích của một tam giác có thể được cho bởi;

A r e a =s ( s – a ) ( s – b ) ( s – c )—————–√

Trong đó “s” là nửa chu vi = (a + b + c) / 2

Và a, b, c là ba cạnh của tam giác.

Làm thế nào để tìm diện tích bằng cách sử dụng công thức Heron?

Để tìm diện tích của một tam giác bằng công thức Heron, chúng ta phải làm theo hai bước:

• Bước đầu tiên là tìm giá trị của nửa chu vi hình tam giác đã cho.

S = (a + b + c) / 2

• Bước thứ hai là sử dụng công thức Heron để tìm diện tích hình tam giác.

Hãy để chúng tôi hiểu điều đó với sự trợ giúp của một ví dụ.

Ví dụ: Một tam giác PQR có các cạnh 4 cm, 13 cm và 15 cm. Tìm diện tích của tam giác.

Bán kinh của tam giác PQR, s = (4 + 13 + 15) / 2 = 32/2 = 16

Theo công thức của heron, chúng ta biết;

A = √ [s (sa) (sb) (sc)]

Do đó, A = √ [16 (16-4) (16-13) (16-15)] = √ (16 x 12 x 3 x 1) = √576 = 24 sq.cm

Công thức này có thể áp dụng cho tất cả các dạng tam giác. Bây giờ chúng ta hãy suy ra công thức diện tích do Heron đưa ra.

Công thức của Heron cho tứ giác

Hãy cùng chúng tôi tìm hiểu cách tìm diện tích tứ giác bằng công thức Heron tại đây.

Nếu tứ giác ABCD là tứ giác thì AB || CD và AC & BD là các đường chéo.

AC chia tứ giác.ABCD thành hai tam giác ADC và ABC.

Bây giờ chúng ta có hai hình tam giác ở đây.

Diện tích tứ giác .ABCD = Diện tích ∆ADC + Diện tích ∆ABC

Vì vậy, nếu chúng ta biết độ dài tất cả các cạnh của một tứ giác và độ dài đường chéo AC, thì chúng ta có thể sử dụng công thức Heron để tìm diện tích toàn phần.

Do đó, trước tiên chúng ta sẽ tìm diện tích của ∆ADC và diện tích của ∆ABC bằng công thức Heron và cuối cùng, sẽ cộng chúng để có giá trị cuối cùng.

Công thức của Heron cho tam giác đều

Như chúng ta đã biết tam giác đều có tất cả các cạnh của nó bằng nhau. Để tìm diện tích tam giác đều trước hết ta tìm nửa chu vi của tam giác đều sẽ là:

s = (a + a + a) / 2

s = 3a / 2

trong đó a là độ dài của cạnh.

Bây giờ, theo công thức của con diệc, chúng ta biết;

A r e a =s ( s – a ) ( s – b ) ( s – c )—————–√

Vì, a = b = c

Vì thế,

A = √ [s (sa) ³ ]

đó là công thức bắt buộc.

Công thức của Heron cho Tam giác cân

Một tam giác cân có hai cạnh bằng nhau và các góc tương ứng với các cạnh này là đồng dư. Để tìm diện tích tam giác cân , chúng ta có thể suy ra công thức tính diệc như cho dưới đây:

Gọi a là độ dài của các cạnh đồng dư và b là độ dài của cơ sở.

Bán chu vi (s) = (a + a + b) / 2

s = (2a + b) / 2

Sử dụng công thức heron của một tam giác,

Diện tích = √ [s (s – a) (s – b) (s – c)]

Bằng cách thay thế các cạnh của một tam giác cân,

Diện tích = √ [s (s – a) (s – a) (s – b)]

= √ [s (s – a) ² (s – b)]

Hoặc là

= (s – a) √ [s (s – b)]

đó là công thức cần thiết để tìm diện tích tam giác cân đã cho.

Bằng chứng

Có hai phương pháp mà chúng ta có thể tìm ra công thức của Hero. Đầu tiên, bằng cách sử dụng đồng nhất lượng giác và quy tắc cosin. Thứ hai, giải biểu thức đại số bằng định lý Pythagoras. Hãy để chúng tôi xem từng bằng chứng hoặc dẫn xuất.

Chứng minh sử dụng Quy tắc Cosin lượng giác

 Hãy để chúng tôi chứng minh kết quả bằng cách sử dụng định luật cosin:

Gọi a, b, c là các cạnh của tam giác và α, β, γ là các góc đối diện với các cạnh đó.

Chúng ta biết rằng, định luật cosin là

Co s γ=a2+b2–c22 a b

Một lần nữa, bằng cách sử dụng danh tính trig, chúng ta có

Stôi n γ=1 – c oS2c——–√

= 4a2b2– (a2+b2–c2)2√2 a b

Ở đây, Cơ sở của tam giác = a

Độ cao = b sinγ

Hiện nay,

Chứng minh bằng Định lý Pythagoras

Diện tích hình tam giác có 3 cạnh

Diện tích ∆ABC được cho bởi

A = 1/2 bh _ _ _ _ (i)

Vẽ BD vuông góc trên AC

Xét một ∆ADB

x ² + h ² = c ²

x ² = c ² – h ² – (ii)

⇒x = √ (c ² −h ² ) −−−−−−— (iii)

Xét một ∆CDB,

(b − x) ² + h ² = a ²

(b − x) ² = a ² – h ²

b ² – 2bx + x ² = a ² –h ²

Thay giá trị của x và x ^{2 vào} phương trình (ii) và (iii), ta được

b ² – 2b√ (c ² −h ² ) + c ² −h ² = a ² – h ²

b ² + c ² – a ² = 2b√ (c ² – h ² )

Bình phương ở cả hai bên, chúng tôi nhận được;

(b ² + c ² –a ² ) ² = 4b ² (c ² −h ² )

(b2+c2–a2)24b2=c2–h2

h2 = c2 – (b2+c2–a2)24b2

h2 = 4b2c2– (b2+c2–a2)24b2

h2 = ( 2 b c)2– (b2+c2–a2)24b2

h2 = [ 2 b c + (b2+c2–a2) ] [ 2 b c – (b2+c2–a2) ]4b2

h2 = [ (b2+ 2 b c +c2) –a2] [a2– (b2– 2 b c +c2) ]4b2

h2 = [ ( b + c)2–a2] . [a2– ( b – c)2]4b2

h2 = [ ( b + c ) + a ] [ ( b + c ) – a ] . [ a + ( b – c ) ] [ a – ( b – c ) ]4b2

h2 = ( a + b + c ) ( b + c – a ) ( a + c – b ) ( a + b – c )4b2

Chu vi của ∆ABC là

P = a + b + c

⇒ h2 = P( P– 2 a ) ( P– 2 b ) ( P– 2 c )4b2

⇒ h =  P( P– 2 a ) ( P– 2 b ) ( P– 2 c )——————–√2 b

Thay giá trị của h vào phương trình (i), ta được;

A =  12bP( P– 2 a ) ( P– 2 b ) ( P– 2 c )√2 b

A =  14( P( P– 2 a ) ( P– 2 b ) ( P– 2 c )——————–√

A =  116P( P– 2 a ) ( P– 2 b ) ( P– 2 c )———————-√

A =  P2(P– 2 a2) (P– 2 b2) (P– 2 c2)——————-√

Bán chu vi = p e r i m e t e r2 = P2

⇒ A =   s ( s – a ) ( s – b ) ( s – c )————–√

Lưu ý : Công thức của Heron có thể áp dụng cho tất cả các loại tam giác và công thức cũng có thể được suy ra bằng cách sử dụng định luật cosin và định luật Cô-si.

Các vấn đề và giải pháp

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số ví dụ để có cái nhìn sâu sắc về chủ đề:

Ví dụ 1: Tìm diện tích hình thang, độ dài các cạnh đối song song của chúng là 22 cm và 12 cm và độ dài các cạnh còn lại là 14 cm.

Giải: Gọi PQRS là hình thang đã cho, trong đó PQ = 22 cm, SR = 12 cm,

PS = QR = 14cm.

Cấu tạo: Vẽ HOẶC || PS

Bây giờ, PORS là một hình bình hành trong đó PS || OR và PO || SR

Do đó, PO = SR = 12cm

⇒OQ = PQ-PO = 22 -12 = 10cm

Trong ∆OQR, chúng ta có

s =  14 + 14 + 102 = 382 = 19 

Diện tích ∆OQR = s ( s – a ) ( s – b ) ( s – C)—————√

= ( 19 ( 19 – 14 ) ( 19 – 14 ) ( 19 – 10 ) )———————-√

= 4275—-√

= 1519–√cm2 ………(Tôi)

Chúng tôi biết rằng Khu vực = 12× b × h

⇒ 1519–√=12× 10 × giờ

⇒ h = 519–√ ………… .. (ii)

Diện tích hình thang = 12 ( PQ + SR ) × h

= 12( 22 + 12 ) × 319–√

= 5119–√cm2

Ví dụ 2: Tìm diện tích hình tam giác có các cạnh là 10 cm, 17 cm và 21 cm. Ngoài ra, hãy xác định độ dài của độ cao bên cạnh đó là 17 cm.

Lời giải:  s =a + b + c2 = 10 + 17 + 212 = 24

Diện tích tam giác = s ( s – a ) ( s – b ) ( s – c )—————–√

24 × 14 × 7 × 3————√

7056—-√ = 84 cm vuông

Lấy 17 cm làm chiều dài cơ sở, chúng ta cần tìm chiều cao

Diện tích, A = 1/2 x cơ sở x chiều cao

1/2 x 17 xh = 84 hoặc h = 168/17 = 9,88 cm (Làm tròn đến hàng trăm gần nhất).

Câu hỏi về Công thức của Heron

Dưới đây là một số câu hỏi thực hành sẽ giúp bạn nâng cao kiến ​​thức về cách tìm diện tích hình tam giác đã cho.

1. Tìm diện tích hình tam giác có chu vi là 54 cm và hai cạnh của nó là 12 cm và 25 cm. [ Đáp án: 90 sq.cm]
2. Nếu độ dài các cạnh bằng nhau của một tam giác cân là 5 cm và đáy là 6 cm, thì hãy tìm diện tích của nó bằng công thức heron. [ Đáp án: 12 sq.cm]
3. Các cạnh của một hình tứ giác, được lấy theo thứ tự lần lượt là 26 cm, 27 cm, 7 cm, 24 cm. Góc chứa bởi hai cạnh cuối là góc vuông. Tìm khu vực của nó. [ Đáp số: 375,85 sq.cm.]

Để giải các bài toán khác dựa trên Công thức Heron, hãy Đăng ký với BYJU’S ngay hôm nay và xóa mọi nghi ngờ của bạn về các khái niệm toán học. Chúng tôi cung cấp các giải pháp chi tiết và từng bước cho tất cả các câu hỏi của bạn. Ngoài ra, hãy làm các bài kiểm tra miễn phí để luyện tập cho các kỳ thi.