Định lý Cơ bản của Số học phát biểu rằng mọi số nguyên lớn hơn 1 đều là số nguyên tố hoặc có thể được biểu diễn dưới dạng số nguyên tố. Nói cách khác, tất cả các số tự nhiên có thể được biểu diễn dưới dạng tích các thừa số nguyên tố của nó. Nhắc lại, thừa số nguyên tố là những số chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Ví dụ, số 35 có thể được viết dưới dạng các thừa số nguyên tố của nó là:
35 = 7 × 5
Ở đây, 7 và 5 là thừa số nguyên tố của 35
Tương tự, một số khác 114560 có thể được biểu diễn dưới dạng tích các thừa số nguyên tố của nó bằng cách sử dụng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố,
114560 = 2 7 × 5 × 179
Vì vậy, chúng ta đã phân tích 114560 là tích lũy thừa của các số nguyên tố của nó.
Kiểm tra: Phương pháp thừa số nguyên tố
Do đó, mọi số tự nhiên đều có thể được biểu diễn dưới dạng tích lũy thừa của các số nguyên tố của nó . Phát biểu này được gọi là Định lý cơ bản của Số học, định lý thừa số duy nhất hoặc định lý thừa số nguyên tố duy nhất .
Chứng minh cho Định lý Cơ bản của Số học
Trong lý thuyết số , một số tổng hợp được biểu diễn dưới dạng tích các số nguyên tố và sự phân hóa nhân tử này là duy nhất ngoài thứ tự xuất hiện của thừa số nguyên tố.
Từ định lý này, chúng ta cũng có thể thấy rằng không chỉ một số tổng hợp có thể được phân tích thành tích của các số nguyên tố mà đối với mỗi số tổng hợp, việc phân tích nhân tử là duy nhất, không xét đến thứ tự xuất hiện của các thừa số nguyên tố.
Nói một cách dễ hiểu, chỉ tồn tại một cách duy nhất để biểu diễn một số tự nhiên bằng tích các thừa số nguyên tố. Thực tế này cũng có thể được phát biểu là:
Việc thừa số nguyên tố của bất kỳ số tự nhiên nào được cho là duy nhất ngoại trừ thứ tự của các thừa số của chúng.
Nói chung, số tổng hợp “a” có thể được biểu thị bằng,
a = p 1 p 2 p 3 ………… p n , trong đó p 1 , p 2 , p 3 ………… p n là các thừa số nguyên tố của một viết theo thứ tự tăng dần tức là p 1 ≤p 2 ≤p 3 … ……… ≤p n .
Viết các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần làm cho việc phân biệt thừa số về bản chất là duy nhất.
Định lý cơ bản về các ví dụ số học
Câu hỏi ví dụ: Trong một cuộc thi đua xe công thức, thời gian hai xe đua A và B đi hết 1 vòng đường đua lần lượt là 30 phút và 45 phút. Sau bao nhiêu thời gian hai ô tô sẽ gặp lại nhau ở điểm xuất phát?
Giải pháp:
Vì thời gian ô tô B đi nhiều hơn ô tô A đi hết một vòng nên có thể cho rằng ô tô A đến sớm và cả hai ô tô sẽ gặp lại nhau khi ô tô A đã đến điểm xuất phát. Thời gian này có thể được tính bằng cách tìm LCM của thời gian thực hiện của mỗi.
30 = 2 × 3 × 5
45 = 3 × 3 × 5
LCM là 90.
Như vậy cả hai xe sẽ gặp nhau tại điểm xuất phát sau 90 phút.
Xem thêm:
