Giải bất phương trình bậc hai – Giải thích & Ví dụ

Giải bất phương trình bậc hai 

Giống như các phương trình có các dạng khác nhau, các bất đẳng thức cũng tồn tại ở các dạng khác nhau; bất đẳng thức bậc hai là một trong số đó.

Bất phương trình bậc hai là phương trình bậc hai sử dụng dấu bất đẳng thức thay cho dấu bằng.

Các nghiệm của bất phương trình bậc hai luôn cho hai nghiệm. Bản chất của các rễ có thể khác nhau và có thể được xác định bằng phân biệt (b ² – 4ac).

Các dạng tổng quát của bất phương trình bậc hai là:

ax ² + bx + c <0

ax ² + bx + c ≤ 0

ax ² + bx + c> 0

ax ² + bx + c ≥ 0

Ví dụ về bất đẳng thức bậc hai là:

x ² – 6x – 16 ≤ 0, 2x ²  – 11x + 12> 0, x ²  + 4> 0, x ²  – 3x + 2 ≤ 0, v.v.

Làm thế nào để giải bất phương trình bậc hai?

Bất phương trình bậc hai là phương trình bậc hai sử dụng dấu bất đẳng thức thay cho dấu bằng.

Ví dụ về bất đẳng thức bậc hai là: x ² – 6x – 16 ≤ 0, 2x ²  – 11x + 12> 0, x ²  + 4> 0, x ²  – 3x + 2 ≤ 0, v.v.

Giải bất phương trình bậc hai trong Đại số cũng tương tự như giải phương trình bậc hai. Ngoại lệ duy nhất là, với phương trình bậc hai, bạn cân bằng các biểu thức với 0, nhưng với bất đẳng thức, bạn quan tâm đến việc biết những gì ở hai bên của số 0, tức là phủ định và dương.

Phương trình bậc hai có thể được giải bằng phương pháp thừa số hóa hoặc bằng cách sử dụng công thức bậc hai . Trước khi tìm hiểu cách giải bất phương trình bậc hai, chúng ta hãy nhớ lại cách giải phương trình bậc hai bằng cách xử lý một vài ví dụ.

Làm thế nào các phương trình bậc hai được giải quyết bằng phương pháp thừa số?

Vì chúng ta biết bất phương trình bậc hai có thể được giải theo cách tương tự như phương trình bậc hai, do đó, việc hiểu phương pháp phân tích nhân tử của phương trình hoặc bất phương trình đã cho là hữu ích.

Hãy xem một vài ví dụ ở đây.

1. 6x ² – 7x + 2 = 0

Giải pháp

⟹ 6x ²  – 4x – 3x + 2 = 0

Thừa số hóa biểu thức;

⟹ 2x (3x – 2) – 1 (3x – 2) = 0

⟹ (3x – 2) (2x – 1) = 0

⟹ 3x – 2 = 0 hoặc 2x – 1 = 0

⟹ 3x = 2 hoặc 2x = 1

⟹ x = 2/3 hoặc x = 1/2

Do đó, x = 2/3, ½

1. Giải hệ 3x ² – 6x + 4x – 8 = 0

Giải pháp

Tính thừa số của biểu thức bên tay trái.

⟹ 3x ²  – 6x + 4x – 8 = 0

⟹ 3x (x – 2) + 4 (x – 2) = 0

⟹ (x – 2) (3x + 4) = 0

⟹ x – 2 = 0 hoặc 3x + 4 = 0

⟹ x = 2 hoặc x = -4/3

Do đó, nghiệm nguyên của phương trình bậc hai là x = 2, -4/3.

1. Giải 2 (x ² + 1) = 5x

Giải pháp

2x ² + 2 = 5x

⟹ 2x ²  – 5x + 2 = 0

⟹ 2x ²  – 4x – x + 2 = 0

⟹ 2x (x – 2) – 1 (x – 2) = 0

⟹ (x – 2) (2x – 1) = 0

⟹ x – 2 = 0 hoặc 2x – 1 = 0

⟹ x = 2 hoặc x = 1/2

Do đó, các nghiệm là x = 2, 1/2.

1. (2x – 3) ² = 25

Giải pháp

Mở rộng và thừa số hóa biểu thức.

(2x – 3) ²  = 25

⟹ 4x ²  – 12x + 9 – 25 = 0

⟹ 4x ²  – 12x – 16 = 0

⟹ x ²  – 3x – 4 = 0

⟹ (x – 4) (x + 1) = 0

⟹ x = 4 hoặc x = -1

1. Giải ra x ² + (4 – 3y) x – 12y = 0

Giải pháp

Mở rộng phương trình;

x ²  + 4x – 3xy – 12y = 0

Cơ sở hóa;

⟹ x (x + 4) – 3y (x + 4) = 0

x + 4) (x – 3y) = 0

⟹ x + 4 = 0 hoặc x – 3y = 0

⟹ x = -4 hoặc x = 3y

Do đó, x = -4 hoặc x = 3y

Để giải bất phương trình bậc hai, chúng ta cũng áp dụng phương pháp tương tự như minh họa trong quy trình dưới đây:

• Viết bất phương trình bậc hai ở dạng chuẩn: ax ²+ bx + c trong đó a, b và là các hệ số và a ≠ 0
• Xác định gốc của bất đẳng thức.
• Viết nghiệm dưới dạng ký hiệu bất đẳng thức hoặc ký hiệu khoảng.
• Nếu bất phương trình bậc hai có dạng: (x – a) (x – b) ≥ 0 thì a ≤ x ≤ b và nếu nó ở dạng: (x – a) (x – b) ≤ 0, khi a <b thì a ≤ x hoặc x ≥ b.
• 

ví dụ 1

Giải bất phương trình x ²  – 4x> –3

Giải pháp

Đầu tiên, làm cho một bên trở thành một bên của bất đẳng thức bằng 0 bằng cách cộng cả hai bên với 3.

x ²  – 4x> –3 ⟹ x ²  – 4x + 3> 0

Nhân tố bên trái của bất đẳng thức.

x ²  – 4x + 3> 0 ⟹ (x – 3) (x – 1)> 0

Giải cho tất cả các số 0 cho bất phương trình;

Cho, (x – 1)> 0 ⟹ x> 1 và cho, (x – 3)> 0 ⟹ x> 3

Vì y là số dương, do đó chúng tôi chọn các giá trị của x mà đường cong sẽ nằm trên trục x.
x <1 hoặc x> 3

Ví dụ 2

Giải bất phương trình x ²  – x> 12.

Giải pháp

Để viết bất đẳng thức ở dạng chuẩn, hãy trừ cả hai vế của bất đẳng thức đi 12.

x ²  – x> 12 ⟹ x ²  – x – 12> 0.

Nhân tử hóa bất phương trình bậc hai để có được;

( x  – 4) ( x  + 3)> 0

Giải cho tất cả các số 0 cho bất phương trình;

Đối với, (x + 3)> 0 ⟹ x> -3

Với x – 4> 0 ⟹ x> 4

Do đó các giá trị x <–3 hoặc x> 4 là nghiệm của bất phương trình bậc hai này.

Ví dụ 3

Giải 2x ²  <9x + 5

Giải pháp

Viết bất đẳng thức ở dạng chuẩn bằng cách biến một vế của bất đẳng thức bằng không.

2x ²  <9x + 5 ⟹ 2x ²  – 9x – 5 <0

Nhân tố bên trái của bất đẳng thức bậc hai.

2x ²  – 9x – 5 <0 ⟹ (2x + 1) (x – 5) <0

Giải tất cả các số 0 cho bất phương trình

Cho, (x – 5) <0 ⟹ x <5 và cho (2x + 1) <0 ⟹ x <-1/2

Vì y không âm đối với phương trình 2x ²  – 9x – 5 <0, do đó chúng ta chọn các giá trị của x mà đường cong sẽ nằm dưới trục x.

Do đó, nghiệm là -1/2 <x <5

Ví dụ 4

Giải – x ² + 4 <0.

Giải pháp

Vì bất đẳng thức đã ở dạng chuẩn, do đó chúng ta tính vào biểu thức.

-x ² + 4 <0 ⟹ (x + 2) (x – 2) <0

Giải tất cả các số 0 cho bất phương trình

Cho, (x + 2) <0 ⟹ x <-2 và cho, (x – 2) <0 ⟹ x <2

Y cho –x ² + 4 <0 là âm; do đó, chúng tôi chọn các giá trị của x trong đó đường cong sẽ nằm bên dưới trục x: –2 <x> 2

Ví dụ 5

Giải hệ 2x ²  + x – 15 ≤ 0.

Giải pháp

Nhân phương trình bậc hai.

2x ²  + x – 15 = 0

2x ²  + 6x – 5x− 15 = 0

2x (x + 3) – 5 (x + 3) = 0

(2x – 5) (x + 3) = 0

Cho, 2x – 5 = 0 ⟹ x = 5/2 và cho, x + 3 = 0 ⟹ x = -3

Vì y đối với 2x ²  + x – 15 ≤ 0 là âm nên chúng ta chọn các giá trị của x mà đường cong sẽ nằm dưới trục x. Do đó, x ≤ -3 hoặc x ≥5 / 2 là nghiệm.

Ví dụ 6

Giải – x ²  + 3x – 2 ≥ 0

Giải pháp

Nhân phương trình bậc hai với -1 và nhớ đổi dấu.

x ²  – 3x + 2 = 0

x ²  – 1x – 2x + 2 = 0

x (x – 1) – 2 (x – 1) = 0

(x – 2) (x – 1) = 0

Với, x – 2 = 0 ⟹ x = 2 và với, x – 1 = 0 ⟹x = 1

Do đó, nghiệm của bất phương trình bậc hai là 1 ≤ x ≤ 2

Ví dụ 7

Giải ra x ² – 3x + 2> 0

Giải pháp

Nhân tử hóa biểu thức cần lấy;

x ² – 3x + 2> 0 ⟹ (x – 2) (x – 1)> 0

Bây giờ giải quyết các gốc của bất đẳng thức như;

(x – 2)> 0 ⟹ x> 2

(x – 1)> 0 ⟹x> 1

Đường cong cho x ² – 3x + 2> 0 có y dương, do đó hãy chọn các giá trị của x mà đường cong sẽ nằm trên trục x. Do đó, nghiệm là x <1 hoặc x> 2.

Ví dụ 8

Giải ra −2x ² + 5x + 12 ≥ 0

Giải pháp

Nhân toàn bộ biểu thức với -1 và đổi dấu bất đẳng thức

−2x ² + 5x + 12 ≥ 0 ⟹2x ² – 5x – 12 ≤ 0

Nhân tử hóa biểu thức cần lấy;

(2x + 3) (x – 4) ≤ 0.

Giải quyết tận gốc;

(2x + 3) ≤ 0 ⟹ x ≤ -3/2.

(x – 4) ≤ 0 ⟹ x ≤ 4.

Bằng cách áp dụng quy tắc; (x – a) (x – b) ≥ 0, thì a ≤ x ≤ b, chúng ta có thể viết thoải mái nghiệm của bất phương trình bậc hai này là:

-3/2 ≤ x ≤ 4.

Ví dụ 9

x ²  – x – 6 <0

Giải pháp

Thừa số x ²  – x – 6 để được;

(x + 2) (x – 3) <0

Tìm nghiệm nguyên của phương trình là;

(x + 2) (x – 3) = 0

x = −2 hoặc x = +3
Vì y âm với x ²  – x – 6 <0 nên ta chọn một khoảng mà đường cong sẽ nằm dưới trục x. Do đó, -2 <x <3 là nghiệm.

Câu hỏi thực hành

1. (x – 3) (x + 1) <0
2. x ² + 5x + 6 ≥ 0
3. (2x – 1) (3x + 4)> 0
4. 10x ² – 19x + 6 ≤ 0
5. 5 – 4x – x ² > 0
6. 1 – x – 2x ² <0
7. (x – 3) (x + 2)> 0.
8. x ² −2x − 3 <0.

Câu trả lời

1. −1 <x <3
2. x <−3 hoặc x> −2
3. x <−4/3 hoặc x> ½
4. 2/5 ≤ x ≤ 3/2
5. −5 <x <1
6. x <−1 hoặc x> ½
7. x <–2 hoặc x> 3
8. −1≤ x ≤ 3.

Xem thêm:

Giải bất đẳng thức một bước – Phương pháp & Ví dụ

Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối – Giải thích & Ví dụ