Định đề thứ năm của hình học Euclid
Nếu một đường thẳng rơi trên hai đường thẳng làm cho góc trong cùng phía của nó nhỏ hơn hai góc vuông, thì hai đường thẳng đó , nếu sinh ra vô hạn, gặp nhau về phía đó mà tổng các góc nhỏ hơn hai góc vuông.
Trong sơ đồ đã cho, tổng của góc 1 và góc 2 nhỏ hơn 180 °, do đó các đường thẳng n và m sẽ gặp nhau trên cạnh của góc 1 và góc 2.
Bây giờ chúng ta hãy tập trung vào phiên bản tương đương của định đề thứ năm của Euclid do John Playfair đưa ra. Theo anh ấy:
“Trong một mặt phẳng, cho trước một đường thẳng và một điểm không nằm trên nó, thì có thể vẽ nhiều nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho qua điểm đó”.
Nói một cách dễ hiểu, câu lệnh trên có thể được viết như sau:
‘Với mọi đường thẳng l và mọi điểm P không nằm trên l thì tồn tại một đường thẳng duy nhất m đi qua P và song song với l’.
Trong hình trên, xét đường thẳng l và một điểm P không nằm trên l. Bây giờ, chúng ta biết rằng vô số đường thẳng có thể đi qua một điểm nhất định. Như vậy, vô số đường thẳng có thể đi qua điểm P. Nhưng, có phải tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng l hay một số đường thẳng song song với đường thẳng l hay không đường thẳng nào song song với đường thẳng l? Theo Playfair, chỉ có đường thẳng đi qua P sẽ song song với đường thẳng l.
Vẽ bất kỳ đường thẳng nào đi qua điểm P, giả sử đường thẳng s. Nếu bạn vẽ các đường cắt ngang s và l và đi qua điểm P, bạn có thể thấy rằng ở một trong các cạnh, tổng các góc đồng nội tiếp sẽ nhỏ hơn 180 °, do đó cả hai đường sẽ gặp nhau theo hướng đó. Chỉ có một khả năng, tức là đường thẳng m, trong đó tổng các góc đồng nội thất nếu chính xác là 180 ° ở cả hai phía. Do đó, trong trường hợp này, cả hai đường sẽ không bao giờ gặp nhau.
Do đó, chúng ta có thể nhận thấy rằng tiên đề này tự nó không phải là tất yếu (hoặc về mặt logic) tương đương với định đề song song Euclide vì có những hình học theo đó cái này đúng, còn cái kia thì không. Tuy nhiên, mỗi cái trong số này có thể được sử dụng để chứng minh cái kia với sự có mặt của các tiên đề còn lại tạo ra hình học Euclide ; do đó, chúng được cho là tương đương về hình học tuyệt đối.
Xem thêm:
