Dòng Fourier là gì?
Chuỗi Fourier là một khai triển của hàm tuần hoàn f (x) dưới dạng tổng vô hạn của sin và cosin. Chuỗi Fourier sử dụng các mối quan hệ trực giao của các hàm sin và côsin.
Dòng Laurent Năng suất Dòng Fourier
Một điều khó hiểu và / hoặc thúc đẩy là thực tế là các hàm tuần hoàn tùy ý có biểu diễn chuỗi Fourier. Trong phần này, chúng tôi chứng minh rằng các hàm giải tích tuần hoàn có cách biểu diễn như vậy bằng cách sử dụng các mở rộng Laurent.
Phân tích Fourier cho các chức năng định kỳ
Biểu diễn chuỗi Fourier của các hàm giải tích được suy ra từ các khai triển Laurent. Phép phân tích phức cơ bản được sử dụng để thu được các kết quả cơ bản bổ sung trong phân tích điều hòa bao gồm biểu diễn các hàm tuần hoàn C∞ bằng chuỗi Fourier, biểu diễn các hàm giảm nhanh bằng tích phân Fourier và định lý lấy mẫu của Shannon. Những ý tưởng là cổ điển và vẻ đẹp siêu việt.
Một hàm là tuần hoàn với chu kỳ L nếu f (x + L) = f (x) với mọi x thuộc miền của f. Giá trị dương nhỏ nhất của L được gọi là thời kỳ cơ bản.
Các hàm lượng giác sin x và cos x là ví dụ của các hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2π và tan x là tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π. Hàm hằng là hàm tuần hoàn với chu kỳ L tùy ý.
Dễ dàng xác minh rằng nếu các hàm f1 ,. . . , fn là tuần hoàn của chu kỳ L, sau đó là bất kỳ kết hợp tuyến tính nào
c1f1( x ) + … +cnfn( x )
cũng là định kỳ. Hơn nữa, nếu chuỗi vô hạn
12aO+∑∞n = 1anc o sn πxL+bnvâng tôi nn πxL
bao gồm các hàm tuần hoàn 2L hội tụ với mọi x, thì hàm mà nó hội tụ sẽ có chu kỳ 2L. Có hai tính chất đối xứng của các hàm sẽ hữu ích trong việc nghiên cứu chuỗi Fourier.
Hàm chẵn và lẻ
Một hàm f (x) được cho là chẵn nếu f (−x) = f (x).
Hàm f (x) được cho là hàm lẻ nếu f (−x) = −f (x).
Về mặt đồ thị, hàm số chẵn có đối xứng qua trục y, ngược lại hàm số lẻ có đối xứng quanh gốc tọa độ.
Ví dụ :
Tổng lũy thừa của x là số lẻ: 5x 3 – 3x
Tổng các lũy thừa của x là số chẵn: −x 6 + 4x 4 + x 2 – 3
Vì x là số lẻ và cos x là số chẵn
Tích của hai hàm lẻ là chẵn: x sin x chẵn
Tích của hai hàm số chẵn là: x 2 cos x chẵn
Tích của một hàm chẵn và một hàm lẻ là
lẻ: sin x cos x là lẻ
Ghi chú:
Để tìm một chuỗi Fourier, chỉ cần tính các tích phân cung cấp các hệ số a 0 , a n và b n và đưa chúng vào công thức chuỗi lớn.
Thông thường, f (x) sẽ được xác định theo từng phần.
Ưu điểm lớn mà chuỗi Fourier có hơn chuỗi Taylor: hàm f (x) có thể có gián đoạn.
Công thức chuỗi Fourier
Công thức cho chuỗi fourier của hàm f (x) trong khoảng [-L, L], tức là -L ≤ x ≤ L được cho bởi:
Các công thức chuỗi Fourier ở trên giúp giải các dạng bài toán khác nhau một cách dễ dàng.
Ví dụ về chuỗi Fourier
Ví dụ: Xác định chuỗi fourier của hàm số f (x) = 1 – x 2 trong khoảng [-1, 1].
Giải pháp:
Được,
f (x) = 1 – x 2 ; [-1, 1]
Chúng ta biết rằng, chuỗi fourier của hàm f (x) trong khoảng [-L, L], tức là -L ≤ x ≤ L được viết là:
Các ứng dụng
Chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng trong phân tích toán học vì nó được định nghĩa là tổng của nhiều sin và cosin. Do đó, nó có thể dễ dàng phân biệt và tích hợp, thường phân tích các chức năng như sóng cưa là tín hiệu tuần hoàn trong thí nghiệm. Nó cũng cung cấp một cách tiếp cận phân tích để giải quyết vấn đề gián đoạn. Trong giải tích, điều này giúp giải các phương trình vi phân phức tạp.
Câu hỏi thường gặp – Câu hỏi thường gặp
Công thức Dòng Fourier là gì?
f (x) = A_0 + ∑_ {n = 1} ^ { ∞} A_n cos (nπx / L) + ∑_ {n = 1} ^ {∞} B_n sin (nπx / L)
Chuỗi Fourier được sử dụng để làm gì?
Làm thế nào để bạn giải quyết một chuỗi Fourier?
Bước 1: Nhân hàm đã cho với sin hoặc cosin, sau đó tích phân
Bước 2: Ước lượng cho n = 0, n = 1, v.v., để nhận giá trị của các hệ số .
Bước 3: Cuối cùng, thay thế tất cả các hệ số trong công thức Fourier.
2 loại chuỗi Fourier là gì?
Chuỗi Fourier có nghĩa là gì?
Xem thêm:
- Phương pháp tích hợp là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.
- Các thước đo về xu hướng trung tâm, trung bình, trung vị và chế độ là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.
- Nhân đa thức là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.
- Bội số của 6 là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.
- Phép nhân các vectơ và số lượng vô hướng là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.