Phương pháp Jacobian là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Phương pháp lặp Jacobi được coi là một thuật toán lặp được sử dụng để xác định các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính trong đại số tuyến tính số , chiếm ưu thế theo đường chéo. Trong phương pháp này, một giá trị gần đúng được điền vào cho mỗi phần tử đường chéo. Cho đến khi nó hội tụ, quá trình được lặp lại. Thuật toán này lần đầu tiên được gọi là quá trình biến đổi Jacobi của đường chéo hóa ma trận.Cho n hệ phương trình tuyến tính là Ax = b.Đây,

Chúng ta hãy phân tích ma trận A thành một thành phần đường chéo D và phần dư R sao cho A = D + R.

Lặp lại giải pháp sẽ nhận được bằng cách sử dụng phương trình dưới đây.

x ^{(k + 1)} = D ^-1 (b – Rx ^(k) )

Đây,

x ^k = lần lặp thứ k hoặc tính gần đúng của x

x ^{(k + 1)} = Lần lặp tiếp theo của x ^k hoặc (k + 1) ^lần lặp ^thứ của x

Công thức cho phương pháp dựa trên phần tử được đưa ra là

Đọc thêm:

Ma trận đường chéo

Ma trận tam giác trên

Ma trận nghịch đảo

Ma trận cho lớp 12

Công thức phương pháp Jacobian

Cho một xấp xỉ chính xác x ^(k) = (x ₁^(k) , x ₂^(k) , x ₃^(k) ,…, x _n^(k) ) cho x, quy trình của phương pháp Jacobian giúp sử dụng phương trình đầu tiên và giá trị hiện tại của x ₂^(k) , x ₃^(k) ,…, x _n^(k) để tính giá trị mới x ₁^{(k + 1)} . Tương tự như vậy, để đánh giá một giá trị mới x _i^(k) bằng cách sử dụng phương trình ^thứ i và các giá trị cũ của các biến khác. Nghĩa là, các giá trị hiện tại đã cho x ^(k) = (x ₁^(k) , x₂^(k) ,…, x _n^(k) ), xác định các giá trị mới bằng cách giải cho x ^{(k + 1)} = (x ₁^{(k + 1)} , x ₂^{(k + 1)} ,…, x _n^{(k +1)} ) trong biểu thức dưới đây của phương trình tuyến tính .

Hệ phương trình trên cũng có thể được viết như dưới đây.

Từ biểu thức trên, rõ ràng rằng, chỉ số con i chỉ ra rằng x _i^(k) là phần tử ^thứ i của vectơ x ^(k) = (x ₁^(k) , x ₂^(k) ,…, x _i^{(k )} ,…, X _n^(k) ), và chỉ số trên k tương ứng với lần lặp cụ thể (không phải lũy thừa ^thứ k của x _i ).

Giả sử rằng D, U và L lần lượt đại diện cho đường chéo, tam giác trên nghiêm ngặt và tam giác dưới nghiêm ngặt và các phần của ma trận A, khi đó phương pháp của Jacobian có thể được mô tả trong ký hiệu vectơ ma trận như cho dưới đây.

Điều này có thể được đơn giản hóa như hình dưới đây.

Dx ^{(k + 1)} + (L + U) x ^(k) = b

x ^{(k + 1)} = D ^-1 [(-LU) x ^(k) + b]

Thuộc tính của phương pháp Jacobian

Thêm các ứng dụng của ma trận Jacobian trong các lĩnh vực khác nhau, phương pháp này giữ một số thuộc tính quan trọng. Sự đơn giản của phương pháp này được xem xét trên cả hai khía cạnh tốt và xấu. Phương pháp này có thể nói là tốt vì nó là phương pháp lặp đầu tiên và dễ hiểu. Tuy nhiên, phương pháp này cũng được coi là không tốt vì nó thường không được sử dụng trong thực tế. Mặc dù có những nhược điểm, nó vẫn là một điểm khởi đầu tốt cho những ai sẵn sàng học các phương pháp lặp lại hữu ích hơn nhưng phức tạp hơn.