Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Phương pháp Jacobian là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18 năm 2021

Phương pháp lặp Jacobi được coi là một thuật toán lặp được sử dụng để xác định các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính trong đại số tuyến tính số , chiếm ưu thế theo đường chéo. Trong phương pháp này, một giá trị gần đúng được điền vào cho mỗi phần tử đường chéo. Cho đến khi nó hội tụ, quá trình được lặp lại. Thuật toán này lần đầu tiên được gọi là quá trình biến đổi Jacobi của đường chéo hóa ma trận.Cho n hệ phương trình tuyến tính là Ax = b.

Đây,

Ma trận AMa trận của x và b

Chúng ta hãy phân tích ma trận A thành một thành phần đường chéo D và phần dư R sao cho A = D + R.

Ma trận đường chéo và lời nhắc

Lặp lại giải pháp sẽ nhận được bằng cách sử dụng phương trình dưới đây.

(k + 1) = D -1 (b – Rx (k) )

Đây,

k = lần lặp thứ k hoặc tính gần đúng của x

(k + 1) = Lần lặp tiếp theo của x k hoặc (k + 1) lần lặp thứ của x

Công thức cho phương pháp dựa trên phần tử được đưa ra là

Công thức dựa trên nguyên tố

Đọc thêm:

Ma trận đường chéo

Ma trận tam giác trên

Ma trận nghịch đảo

Ma trận cho lớp 12

Công thức phương pháp Jacobian

Cho một xấp xỉ chính xác x (k) = (x (k) , x (k) , x (k) ,…, x (k) ) cho x, quy trình của phương pháp Jacobian giúp sử dụng phương trình đầu tiên và giá trị hiện tại của x (k) , x (k) ,…, x (k) để tính giá trị mới x (k + 1) . Tương tự như vậy, để đánh giá một giá trị mới x (k) bằng cách sử dụng phương trình thứ i và các giá trị cũ của các biến khác. Nghĩa là, các giá trị hiện tại đã cho x (k) = (x (k) , x(k) ,…, x (k) ), xác định các giá trị mới bằng cách giải cho x (k + 1) = (x (k + 1) , x (k + 1) ,…, x (k +1) ) trong biểu thức dưới đây của phương trình tuyến tính .

Công thức phương pháp Jacobian

Hệ phương trình trên cũng có thể được viết như dưới đây.

Phương pháp Jacobian Công thức 2

Từ biểu thức trên, rõ ràng rằng, chỉ số con i chỉ ra rằng x (k) là phần tử thứ i của vectơ x (k) = (x (k) , x (k) ,…, x (k ) ,…, X (k) ), và chỉ số trên k tương ứng với lần lặp cụ thể (không phải lũy thừa thứ k của x i ).

Giả sử rằng D, U và L lần lượt đại diện cho đường chéo, tam giác trên nghiêm ngặt và tam giác dưới nghiêm ngặt và các phần của ma trận A, khi đó phương pháp của Jacobian có thể được mô tả trong ký hiệu vectơ ma trận như cho dưới đây.

Phương pháp Jacobian Công thức 3

Điều này có thể được đơn giản hóa như hình dưới đây.

Dx (k + 1) + (L + U) x (k) = b

(k + 1) = D -1 [(-LU) x (k) + b]

Thuộc tính của phương pháp Jacobian

Thêm các ứng dụng của ma trận Jacobian trong các lĩnh vực khác nhau, phương pháp này giữ một số thuộc tính quan trọng. Sự đơn giản của phương pháp này được xem xét trên cả hai khía cạnh tốt và xấu. Phương pháp này có thể nói là tốt vì nó là phương pháp lặp đầu tiên và dễ hiểu. Tuy nhiên, phương pháp này cũng được coi là không tốt vì nó thường không được sử dụng trong thực tế. Mặc dù có những nhược điểm, nó vẫn là một điểm khởi đầu tốt cho những ai sẵn sàng học các phương pháp lặp lại hữu ích hơn nhưng phức tạp hơn.

Ví dụ về phương pháp Jacobian

Dưới đây là một hệ phương trình tuyến tính có dạng Ax = b với ước lượng ban đầu x (0) .

Ví dụ về phương pháp Jacobian

Giải quyết vấn đề trên bằng phương pháp Jacobian.

Giải pháp:

Được,

Lời giải Ma trận của A, b và x ^ 0

Chúng ta biết rằng x (k + 1) = D -1 (b – Rx (k) ) được sử dụng để ước lượng x.

Chúng ta hãy viết lại biểu thức trên ở dạng thuận tiện hơn, tức là D -1 (b – Rx (k) ) = Tx (k) + C

Đây,

T = -D -1 R

C = D -1 b

R = L + U

Hãy để chúng tôi chia ma trận A dưới dạng ma trận đường chéo và phần dư.

Đường chéo và đường chéo nghịch đảo của A

Phần trên và phần dưới của lời nhắc A:

Phần còn lại của ma trận A

Đây,

R = Ma trận phần dư

L = Phần dưới của R

U = Phần trên của R

T = -D -1 (L + U) = D -1 [-L + (-U)]

Giải pháp phương pháp Jacobian bước 1
Giải pháp phương pháp Jacobian bước 2
Giải pháp phương pháp Jacobian bước 3
Giải pháp phương pháp Jacobian bước 4

Lặp lại quá trình trên cho đến khi nó hội tụ, tức là cho đến khi giá trị của || Ax n – b || nhỏ.

0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x