Phương trình lượng giác

Phương trình liên quan đến một hoặc nhiều tỉ số lượng giác của góc chưa biết được gọi là phương trình lượng giác, ví dụ cos ²   x – 4 sin x = 1

Cần lưu ý rằng đồng dạng lượng giác được thỏa mãn với mọi giá trị của góc chưa biết trong khi phương trình lượng giác chỉ thỏa mãn đối với một số giá trị (hữu hạn hoặc vô hạn) của góc chưa biết.

ví dụ sec ²  x – tan ²  x = 1 là một đồng dạng lượng giác vì nó thỏa mãn với mọi giá trị của x Î R.

GIẢI PHÁP THIẾT BỊ TRIGONOMETRIC

Giá trị của góc chưa biết thỏa mãn phương trình đã cho được gọi là nghiệm của phương trình, ví dụ sin q = ½ Þq = p / 6.

Giải pháp chung

Vì các hàm lượng giác là các hàm tuần hoàn, các nghiệm của phương trình lượng giác có thể được tổng quát hóa với sự trợ giúp của tính tuần hoàn của các hàm lượng giác. Nghiệm bao gồm tất cả các nghiệm có thể có của một phương trình lượng giác được gọi là nghiệm tổng quát của nó.

Chúng tôi sử dụng các công thức sau để giải phương trình lượng giác:

· Sin q = 0 Þ q = np,

· Cos q = 0 Þq = (2n + 1) ,

· Tan q = 0 Þ q = np,

· Sin q = sin a Þq = np + (–1) ⁿ a, trong đó aÎ [–p / 2, p / 2]

· Cos q = cos aÞq = 2np ± a, trong đó aÎ [0, p]

· Tan q = tan a Þ q = np + a, trong đó aÎ (–p / 2, p / 2)

· Sin ²  q = sin ²  a, cos ²  q = cos ²  a, tan ² q = tan ²  aÞq = np ± a,

· Sin q = 1 Þq = (4n + 1) ,

· Cos q = 1 Þ q = 2np,

· Cos q = –1 Þ q = (2n + 1) p,

· Sin q = sin a và cos q = cos aÞ q = 2np + a.

Ghi chú:

· Mọi nơi trong chương này n được lấy là số nguyên, Nếu không được nêu khác.

· Giải pháp chung nên được đưa ra trừ khi giải pháp được yêu cầu trong một khoảng thời gian xác định.

· A được coi là giá trị chính của góc. Góc nhỏ nhất bằng số được gọi là giá trị chính.

Phương pháp tìm giá trị chính

Giả sử chúng ta phải tìm giá trị chính của việc   thỏa mãn đẳng thức sin  = –  .

Vì sin  là âm,   sẽ nằm trong góc phần tư thứ 3 hoặc thứ 4. Chúng ta có thể tiếp cận góc phần tư thứ 3 hoặc thứ 4 từ hai hướng. Nếu chúng ta thực hiện theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, giá trị số của góc sẽ lớn hơn  . Nếu chúng ta tiếp cận nó theo chiều kim đồng hồ, góc sẽ nhỏ hơn về mặt số học  . Đối với giá trị chính, chúng ta phải lấy góc nhỏ nhất về mặt số học.

Vì vậy, đối với giá trị chính:

1. Nếu góc ở góc phần tư thứ 1 hoặc thứ 2, chúng ta phải chọn hướng ngược chiều kim đồng hồ và nếu góc nếu góc ở góc phần tư thứ 3 hoặc thứ 4, chúng ta phải chọn hướng theo chiều kim đồng hồ.

2. Giá trị gốc không bao giờ lớn hơn bằng số  .

3. Giá trị chính luôn nằm trong vòng tròn đầu tiên (tức là trong vòng quay đầu tiên)

Trên các tiêu chí trên   sẽ là   hoặc  . Trong hai cái   này có giá trị số nhỏ nhất. Do đó   là giá trị chính của việc   thỏa mãn phương trình sin  = – .

Thuật toán tìm đối số nguyên lý:

Bước 1:            Đầu tiên vẽ một đường tròn lượng giác và đánh dấu góc phần tư, trong đó góc có thể nằm.

Bước 2:            Chọn hướng ngược chiều kim đồng hồ cho góc phần tư thứ 1 và thứ 2 và chọn hướng theo chiều kim đồng hồ cho góc phần tư thứ 3 và thứ 4.

Bước 3:            Tìm góc trong lần quay đầu tiên.

Bước 4:            Chọn góc nhỏ nhất về số trong hai giá trị này. Do đó, góc tìm được sẽ là giá trị chính.

Bước 5:            Trong trường hợp hai góc cùng dấu dương và góc cùng dấu âm là góc nhỏ nhất bằng số thì quy ước chọn góc có dấu dương làm giá trị chính.

Ví dụ 1:          Iftan  = – 1, sau đó  sẽ nằm trong góc phần tư thứ 2 hoặc thứ 4.

Đối với góc phần tư thứ 2, chúng tôi sẽ chọn ngược chiều kim đồng hồ và cho góc phần tư thứ 4. chúng tôi sẽ chọn hướng theo chiều kim đồng hồ.

Trong vòng tròn đầu tiên hai giá trị   và   thu được.

Trong số hai  góc này,  là góc nhỏ nhất về mặt số học. Do đó giá trị chính là  .

Ví dụ 2:          Nếu cos  =  , sau đó  sẽ nằm trong 1 ^st  hoặc 4 ^thứ  góc phần tư.

Đối với góc phần tư thứ nhất, chúng tôi sẽ chọn hướng ngược chiều kim đồng hồ và đối với góc phần tư thứ 4, chúng tôi sẽ chọn hướng theo chiều kim đồng hồ.

Trong vòng tròn đầu tiên, hai giá trị   và   do đó được tìm thấy.

Cả hai   và –  có cùng giá trị số. Trong trường hợp đó   sẽ được chọn làm giá trị chính.

Minh họa 17: Giải cot (sinx + 3) = 1.

Giải:                  sinx + 3 =       Þ  Þ n = 1 Þ sinx = 

Þ x =        hoặc 

Minh họa 18: Nếu sin 5x + sin 3x + sin x = 0 thì tìm giá trị của x khác 0, nằm trong khoảng 0  £  x  £ .

Giải:                  sin 5x + sin 3x + sin x = 0 Þ (sin 5x + sin x) + sin 3x = 0

Þ 2 sin 3x cos 2x + sin 3x = 0 Þ sin 3x (2 cos 2x + 1) = 0

Þ sin 3x = 0; cos 2x = –  Þ 3x = np, 2x = 2np ±

Giá trị yêu cầu của x là  .

Minh họa 19: Tìm tất cả các góc nhọn  a  sao cho cos  a  cos 2 a  cos 4 a  =  .

Lời giải:                  Cho rằng cosa cos2a cos4a = 

Þ 2sina cosa cos2a cos4a =        Þ 2sin2a cos2a cos4a = 

Þ 2sin4a cos4a = sinaÞ sin8a – sina = 0

Þ 2sin cos  = 0

Hoặc sin  = 0 Þ  Þa = 

Với n = 0 a = 0 không phải là nghiệm.

Þa =   n = 1, tức là a = 

hoặc cos           Þ  = (2n + 1)  Þa = (2n + 1)  Þa = 

Do đó a =  .

Minh họa 20: Giải quyết cho x:  .

Giải pháp:              

THỨ TỰ

THỨ TỰ

Þ        Þ Þ

Þ sin2x = ± 1 Þ 2x = (2n + 1)   Þ x = (2n + 1)  , n Î I

NHẬN ĐỊNH MỤC TIÊU

1: Giá trị chung của q thỏa mãn cả hai   và  là:

(A) 2np (B) 2np + 7p / 6

(C) np + p / 4 (D) 2np + p / 4

Giải pháp: Đầu tiên chúng ta hãy tìm hiểu q nằm giữa 0 và 360 °.

Vì   Þq = 210 ° hoặc 330 °

và   Þq = 30 ° hoặc 210 °

Do đó q = 210 ° hoặc   là giá trị thỏa mãn cả hai.

\ Giá trị chung của 

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

2: Ö3 cosec20 ° – giây20 ° =

(A) 1 (B) 2

(C) 3 (D) 4

Lời giải: Cho =

= 

Do đó (D) là câu trả lời đúng.

3: tan A + 2 tan 2A + 4 tan 4A + 8 cot 8A =

(A) Cốt A (B) tan 6A

(C) cũi 4A (D) Không có

Bài giải: tan A + 2 tan 2A + 4 tan 4A + 8 cot 8A

                        = tanA + 2tan2A + 4tan4A + 8

 

= cũi A

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

4: Giá trị của sin 12 °. sin48 ° .sin54 ° =

(A) 1/8 (B) 1/6

(C) 1/4 (D) 1/2

Lời giải: sin 12 °. sin48 ° .sin54 ° = 

= 

= 

= 

= 

Phương pháp thay thế

Cho q = 12 °

sin 12 °. sin48 ° .sin54 ° =

= 

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

5: Giá trị dương nhỏ nhất của x (tính bằng độ) mà

tan (x + 100 °) = tan (x + 50 °) tan x tan (x – 50 °) là:

(A) 30 ° (B) 45 °

(C) 60 ° (D) 90 °

Giải pháp: Mối quan hệ có thể được viết là 

THỨ TỰ

THỨ TỰ

Þ  Þ cos50 ° + 2sin (2x + 50 °) cos (2x + 50 °) = 0

Þ cos50 ° + sin (4x + 100 °) = 0 Þ cos50 ° + cos (4x + 10 °) = 0

Þ cos (2x + 30 °) cos (2x – 20 °) = 0 Þ x = 30 °, 55 °

Þ Giá trị nhỏ nhất của x = 30 °

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

6. Giá trị tổng quát nhất của q thỏa mãn 3 – 2cosq –4sinq –cos2q + sin2q = 0:

(A) 2np (B) 2np + p / 2

(C) 4np (D) 2np + p / 4

Giải: 3 – 2cos q – 4 sin q – cos 2q + sin 2q = 0

Þ 3 – 2cos q – 4 sin q – 1 + 2sin ²  q + 2sin q cos q = 0

Þ 2sin ² q – 2cosq – 4sin q + 2sin q cos q + 2 = 0

Þ (sin ²  q – 2sin q + 1) + cos q (sinq – 1) = 0

Þ (sin q – 1) [sin q – 1 + cos q] = 0

hoặc sin q = 1

Þq = 2np + p / 2 trong đó n Î I

hoặc, sin q + cos q = 1

cos (q – p / 4) = cos (p / 4) Þq – p / 4 = 2np ± p / 4

Þ q = 2np, 2np + p / 2 trong đó n Î I

Do đó q = 2np, 2np + p / 2.

Do đó (A, B) là câu trả lời đúng.

7: Nếu sinq = 3sin (q + 2a) thì giá trị của tan (q + a) + 2tana là:

(A) 0 (B) 2

(C) 4 (D) 1

Giải: Cho sin q = 3sin (q + 2a)

Þ sin (q + aa) = 3sin (q + a + a)

Þ sin (q + a) cosa – cos (q + a) sina

= 3sin (q + a) cosa + 3cos (q + a) sina

Þ –2sin (q + a) cosa = 4cos (q + a) sina

THỨ TỰ

Þ tan (q + a) + 2tana = 0

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

8: Giá trị nhỏ nhất của 3tan ² q + 12 cot ² q là:

(A) 6 (B) 8

(C) 10 (D) Không có

Giải: AM ³ GM Þ  (3tan ² q +12 cot ² q) ³ 6

Þ 3 tan ² q + 12cot ² q có giá trị nhỏ nhất là 12.

Do đó (D) là câu trả lời đúng.

9: Nếu A + B + C =  thì giá trị của tanA + tanB + tanC là:

(A)    3                                          (B)           2 

(C)> 3                                             (D)> 2 

Giải: tan (A + B) = tan (  – C)

hoặc,   = tanC

hoặc, tanA + tanB + tanC = tana tanB tanC

[kể từ AM   GM]

hoặc, tanA tanB tanC  

hoặc,  A  B  C   27 [xếp cả hai bên]

hoặc tanA tanB tanC   3

 tanA + tanB + tanC   3 .

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

10: Cho 0 <A, B <   thỏa mãn các đẳng thức 3  A + 2 B = 1 và 3sin2A – 2sin2B = 0. Khi đó A + 2B =:

(A)                                                     (B)         

(C)                                                     (D) Không có cái nào trong số này.

Lời giải: Từ phương trình thứ hai, ta có

sin2B =  sin2A… (1)

và từ bình đẳng đầu tiên

3 A = 1 –2  B = cos2B… (2)

Bây giờ cos (A + 2B) = cosA. cos2B – sinA. sin2B

= 3 cosA. A –  . sinA. sin2A

= 3cosA. A – 3 A. cosA = 0

 A + 2B =   hoặc 

Cho rằng 0 <A <   và 0 <B <    0 <A + 2B <    +  

Do đó A + 2B =  .

Do đó (C) là câu trả lời đúng.

11: Nếu a cos ³ q + 3a cos q sin ² q = x và a sin ³ q + 3a cos ² q sin q = y thì (x + y) ^2/3  + (x – y) ^2/3  =

(A) 2a ^2/3                      (B) a ^2/3

(C) 3a ^2/3                      (D) 2a ^1/3

Giải: a cos ³ q + 3a cos q sin ² q = x

a sin ³ q + 3a cos ² q sin q = y

x + y = a [sin ³ q + cos ³ q + 3 sin q cos q (sin q + cos q)] = a (sinq + cosq) ³

 = sin q + cos q …… (1)

x – y = a [cos ³ q – sin ³ q + 3 cosq sin ² q – 3 cos ² q sin q] = a [cosq – sinq] ³

 = cos q – sin q …… (2)

(sin q + cos q) ²  + (cos q – sin q) ²  = 

2 (sin ² q + cos ² q) = 

(x + y) ^2/3  + (x – y) ^2/3  = 2a ^2/3 .

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

12: Nếu  , thì sin4a =

(A) a / 2 (B) a

(C) a ^2/3                       (D) 2a

Giải: Cho a = sin 4qÞ  = cos 2q + sin 2q và   = cos 2q – sin 2q

(1 +  ) tan a = (1 +  )

Þ (1 + cos 2q + sin 2q) tan a = 1 + cos 2q – sin 2q

Þ  = cot a

Þ  = cot a Þ

Þ tan   = tan      Þq = 

Þ a = sin 4q = sin (p – 4a) = sin 4 a

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

13: Nếu cos ² q =   và tan ²   = tan ^2/3 a thì cos ^2/3 a + sin ^2/3 a =

(A) 2a ^2/3                      (B)                           

(C)                                             (D) 2a ^1/3

Giải: cos ² q =  , tan ²  = tan ^2/3 a

tan ³  = tan aÞ

 = k

sin ³  = k sin a …… (1)

cos ³  = k cos a …… (2)

k ^2/3  sin ^2/3 a + k ^2/3  cos a = 1

sin ^2/3 a + cos ^2/3 a = 

Bình phương và cộng (1) và (2)

k ² (sin ² a + cos ² a) = sin ⁶  + cos ⁶  =  

k ²  = 1 –   sin ² q = 1 –   +   cos ² q

k ²  =   Þ k = 

sin ^2/3 a + cos ^2/3 a =  .

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

14: Nếu 3 sin ² a + 2 sin ² b = 1 và 3 sin 2a –2 sin 2b = 0, trong đó a, b là các góc nhọn dương thì a + 2b =

(A)                       (B)                           

(C)                      (D)                          

Lời giải: 3 sin ² a + 2 sin ² b = 1 …… (1)

3 sin 2a = 2 sin 2b …… (2)

3 sin ² a = 1 – 2 sin ² b = cos 2b

3 sin a sin a = cos 2b …… (3)

từ phương trình (2)

3. 2 sin a cos a = 2 sin 2b

3 sin a = 

từ phương trình (3)

sin a  = cos 2b

cos a cos 2b – sin a sin 2b = 0

cos (a + 2b) = 0

Þa + 2b =  .

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

15: Giá trị của   là:

(A)                       (B)                           

(C)                       (D)                          

Giải pháp:        

= 

=

= 

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

16: Số nghiệm của sin ³  x cos x + sin ²  x cos ²  x + sin x cos ³  x = 1 trong [0, 2p] là

(A) 4 (B) 2

(C) 1 (D) 0

Lời giải: sin x cos x [sin ² x + sin x cos x + cos ²  x] = 1

Þ sin x cos x + (sin x cos x) ²  = 1

sin ²  2x + 2 sin 2x –4 = 0 Þ sin 2x =  , điều này không khả thi.

Do đó (D) là câu trả lời đúng.

17: Số nghiệm của phương trình x ³  + 2x ²  + 5x + 2cosx = 0 trong
[0, 2p] là:

(A) 0 (B) 1

(C) 2 (D) 3

Giải: Cho f (x) = x ³  + 2x ²  + 5x +2 cosx

Þ f ¢ (x) = 3x ²  + 4x + 5 – 2 sinx

= 3 

Bây giờ    “x (dưới dạng -1 £ sinx £ 1)

Þ f ¢ (x)> 0 “x

Þ f (x) là hàm số tăng.

Bây giờ f (0) = 2

Þ f (x) = 0 không có nghiệm trong [0, 2p].

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

18: Giá trị của   bằng

(A) -1 (B)         

(C)                                                (D)        

Giải pháp:               .

Do đó (D) là câu trả lời đúng.

19: sinnx = , với n là số tự nhiên lẻ, thì:

(A)         = 1,  = 2n (B)          = 1,  = n

(C)         = 0,  = n (D)         = 0,  = -n

Lời giải: sin nx = Im (e ^{in x} ) = Im ((cosx + i sinx) ⁿ )

… ..

Vì n lẻ nên n = 2   + 1

       sin nx =  –  +….

=  –  +  +….

= 

Do đó (C) là câu trả lời đúng.

20: Nếu tanx = n. tany, n , thì giá trị lớn nhất của  (x – y) bằng:

(A)                                           (B)         

(C)                                           (D)        

Lời giải: tanx = n tany, cos (x – y)

= cosx. ấm cúng + sinx.siny.

 cos (x – y) = cosx.cosy (1 + tanx.tany)

= cosx. ấm cúng (1 + n tan ² y)

Hiện nay, 

Do đó (D) là câu trả lời đúng.

21: Nếu 3sinq + 5cosq = 5 thì giá trị của 5sinq – 3cosq bằng

(A) 5 (B) 3

(C) 4 (D) không cái nào trong số này

Giải: 3sinq = 5 (1 – cosq) = 5 ´ 2sin ² q / 2 Þ tanq / 2 = 3/5

5sinq – 3cosq =   = 

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

22: Trong DABC, nếu cotA cotB cotC> 0 thì D là

(A) góc nhọn (B) góc phải

(C) góc tù (D) không tồn tại

Lời giải: Vì cotA cotB cotC> 0

cotA, cotB, cotC là dương ÞD là góc nhọn

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

23: Nếu p <2q <  , thì   bằng

(A) –2cosq (B) –2sinq

(C) 2cosq (D) 2sinq

Giải pháp:          = 

= 2 | sinq | = 2sinq as 

Do đó (D) là câu trả lời đúng.

24: Nếu tanq =  với một số tự nhiên n không vuông, thì sec2q là

(A) một số hữu tỉ (B) một số vô tỉ

(C) một số dương (D) không có số nào trong số này

Giải pháp:        

với n là số tự nhiên không bình phương nên 1 – n ¹ 0.

Þ sec2q là một số hữu tỉ.

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

25: Giá trị nhỏ nhất của cos (cosx) là

(A) 0 (B) –cos1

(C) cos1 (D) –1

Lời giải: cos x thay đổi từ –1 đến 1 với mọi x thực.

Như vậy cos (cosx) biến thiên từ cos1 đến cos0 Þ giá trị nhỏ nhất của cos (cosx) là cos1.

Do đó (C) là câu trả lời đúng.

26: Nếu sin x cos y = 1/4 và 3 tan x = 4 tan y thì tìm giá trị của sin (x + y).

(A) 1/16 (B) 7/16

(C) 5/16 (D) không có cái nào trong số này

Giải: 3 tan x = 4 tan y Þ 3 sin x cos y = 4 cos x sin y

Þ 3/4 = 4 cos x sin y Þ cos x sin y = 3/16

\ sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y =  .

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

27: Giá trị lớn nhất của 4sin ²  x + 3cos ² x +  là

(A)                                             (B) 

(C) 9 (D) 4

Giải: Giá trị lớn nhất của 4sin ² x + 3cos ² x tức là sin ² x + 3 là 4 và của sin + cos  là   =  , cả hai đều đạt được tại x = p / 2. Do đó hàm đã cho có giá trị lớn nhất 

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

28: Nếu a và b là nghiệm của sin ²  x + a sin x + b = 0 cũng như của cos ² x + c cos x + d = 0 thì sin (a + b) bằng

(A)                                          (B) 

(C)                                          (D) 

Giải: Theo điều kiện đã cho, sina + sinb = –a và cosa + cosb = -c.

THỨ TỰ

Þ  Þ

Do đó (D) là câu trả lời đúng.

29: Nếu sina, sinb và cosa nằm trong GP thì nghiệm của phương trình x ²  + 2x cot b + 1 = 0 luôn là nghiệm.

(A) bằng (B) thực

(C) ảo (D) lớn hơn 1

Lời giải: sina, sinb, cosa nằm trong GP

Þ sin ² b = sina cosaÞ cos2b = 1 – sin2b ³ 0

Bây giờ, phân biệt của phương trình đã cho là

4cot ² b – 4 = 4 cos2b × cosec ² b³ 0 Þ Rễ luôn có thực.

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

30: Nếu   thì S bằng

(A)                                         (B)       

(C)                                         (D)       

Giải pháp:        

= 

= = 

Do đó (C) là câu trả lời đúng.

31: Nếu trong DABC, ÐC = 90 ° thì giá trị lớn nhất của sin A sin B là

(A)                                                    (B) 1

(C) 2 (D) Không có

Lời giải: sinA sinB = 

= =  =   £

Þ Giá trị lớn nhất của sinA sinB = 

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

32: Nếu trong DABC, sin ² A + sin ² B + sin ² C = 2 thì tam giác luôn

(A) tam giác cân (B) vuông góc

(C) góc nhọn (D) góc tù

Giải: sin ²  A + sin ²  B + sin ² C = 2 Þ 2 cos A cos B cos C = 0

Þ A = 90 ^o  hoặc B = 90 ^o   hoặc C = 90 ^o

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

33. Giá trị lớn nhất của biểu thức 2sinx + 4cosx + 3 là

(A) 2  + 3 (B) 2  – 3

(C)   + 3 (D) không có cái nào trong số này

Giải: Giá trị lớn nhất của 2sinx + 4cosx = 2 .

Do đó giá trị lớn nhất của 2sinx + 4cosx +3 là 

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

34: Nếu sinq = 3sin (q + 2a) thì giá trị của tan (q + a) + 2tana là

(A) 3 (B) 2

(C) 1 (D) 0

Giải: Cho sin q = 3sin (q + 2a)

Þ sin (q + aa) = 3sin (q + a + a)

Þ sin (q + a) cosa – cos (q + a) sina

= 3sin (q + a) cosa + 3cos (q + a) sina

Þ –2sin (q + a) cosa = 4cos (q + a) sina

THỨ TỰ

Þ tan (q + a) + 2tana = 0

Do đó (D) là câu trả lời đúng.

35: Nếu cos q =  thì một trong các giá trị của tan   là

(A) tan   cot                                       (B) tan   cot 

(C) sin   sin                                       (D) không cái nào trong số này

Lời giải: tan ²  =   = 

= 

=   = 

= tan ²  cot ² .

\ tan   = ± tan   cot  .

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

36. Nếu tan 2q. tan q = 1 thì q bằng

(A)                                          (B)         

(C)                                           (D) Không có cái nào trong số này.

Lời giải: tan 2q. tan q = 1

.

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

37. Nếu a là căn của 25  thì sin 2a bằng

(A)                                                               (B)         

(C)                                                               (D)        

Giải pháp: Vì, a là gốc của 

.

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

38. Phương trình k  có nghiệm nếu

(A) k> 6 (B)         

(C) k> 2 (D) Không có.

Lời giải: Ta có k 

Nhưng  , do đó, 

Hiện nay,      

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

39. Nghiệm tổng quát của phương trình tan 3x = tan 5x là

(A) x = np / 2, n Î Z (B) x = np, n Î Z

(C) x = (2n + 1) p, n Î Z (D) Không có.

Lời giải: Ta có tan 3x = tan 5x

nếu n lẻ, thì x = np / 2, cho các nghiệm không liên quan. Do đó, nghiệm của phương trình đã cho sẽ được cho bởi x = np / 2, trong đó n thậm chí là n = 2 m, m Î Z. Do đó, nghiệm cần thiết là x = mp, m Î Z.

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

40. Phương trình  có thể giải được nếu

(A)                                (B)         

(C)                                        (D) Không có cái nào trong số này.

Giải pháp: Chúng tôi có 

Ở đâu 

cho y là có thật.

Phân biệt đối xử   . . . (1)

Nhưng  , do đó 

                 . . . (2)

Từ (1) và (2) ,                                         .

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

41. Tập hợp các giá trị của x   là

(A) f (B) p / 4

(C)                 (D)        

Giải pháp:              

 nhưng giá trị này không thỏa mãn phương trình đã cho  và nó giảm về dạng không xác định.

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

42. Nếu  thì q bằng

(A) p / 3 (B) 2p / 3

(C) p / 6 (D) 5p / 8

Giải pháp:              

hoặc là 

.

Do đó (C) là câu trả lời đúng.

43. Giá trị của biểu thức  là

(A) 1/2 (B) 1

(C) 2 (D) Không cái nào trong số này.

Lời giải: Biểu thức đã cho là

.

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

44. Nếu  , thì q (chỉ giá trị chính) là

(A) p / 3 (B) 2p / 3

(C) 4p / 3 (D) 5p / 3

Giải pháp:               .

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

45. Số nghiệm của  khoảng [0, 2p] là

(A) 2 (B) 4

(C) 0 (D) Không có.

Giải pháp:              

,

nhưng        

\ Giải pháp không tồn tại.

Do đó (C) là câu trả lời đúng.

46. ​​Nếu  thì nghiệm tổng quát của q là

(A)                                           (B)         

(C)                                    (D) Không có cái nào trong số này.

Giải pháp:              

.

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

47. Số nghiệm của 11 sin x = x là

(A) 4 (B) 6

(C) 8 (D) Không cái nào trong số này.

Lời giải: 11 sin x = x. . . (1)

Khi thay n bởi -, ta có 11 sin (–x) = –x

Vì vậy, với mọi nghiệm dương, ta cũng có nghiệm âm và x = 0 thỏa mãn (1), do đó số nghiệm sẽ luôn là số lẻ. Do đó, (d0 là lựa chọn thích hợp.

Do đó (D) là câu trả lời đúng.

48. Nếu  thì x bằng

(A)                                                  (B)         

(C)                                                     (D) Không có cái nào trong số này.

Giải pháp: LHS 

và bình đẳng giữ cho 

và RHS 

bình đẳng cũ nếu  .

Vì vậy, LHS = RHS   duy nhất.

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

49. Giải pháp chung cho q nếu  , là

(A)                                        (B)         

(C)                                        (D) Không có cái nào trong số này.

Giải pháp:                                                                      . . . (1)

và 

(1) có thể giữ đúng iff  và   cả hai đều bằng 1 đồng thời. Giá trị chung đầu tiên của q là  mà

và 

và vì chu kỳ của  là p

và chu kỳ của  là 2p, do đó, chu kỳ của   là 2p. Do đó, giải pháp chung là  .

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

50. Nếu tan a và tan b là gốc của  thì giá trị của tan (a + b) là

(A)                                                     (B) 1

(C)                                                     (D) Không có cái nào trong số này.

Giải pháp:                là những gốc rễ của 

và  .

.

Do đó (C) là câu trả lời đúng.

51. Số nghiệm của phương trình tan x = sec x = 2 cos x nằm trong khoảng [0, 2p] là

(A) 0 (B) 1

(C) 2 (D) 3

Lời giải: Phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng

hoặc –1

Do đó, số lượng giải pháp cần thiết là 2.

Do đó (C) là câu trả lời đúng.

52. Nếu tan mq + cot nq = 0 thì giá trị chung của q là

(A)                                         (B)         

(C)                                              (D)        

Lời giải: Phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng

hoặc là         

.

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

53. Nghiệm tổng quát của phương trình  là

(A)                           (B)         

(C)                           (D)        

Giải pháp: Hãy 

 hoặc là 

và 

hoặc là         

Sử dụng chúng trong phương trình đã cho, chúng ta nhận được

hoặc là         

 hoặc    .

Do đó (D) là câu trả lời đúng.

54. Một nghiệm của phương trình  là

(A)                     (B)         

(C)                                    (D) Không có cái nào trong số này.

Lời giải: Phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng

hoặc là         

hoặc là         

        Hoặc sin q = 0 cho q = np

hoặc          cái nào cho

Hiện nay, 

Lần nữa     

Do đó, một nghiệm của phương trình đã cho là

.

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

55. Giải phương trình x và y:

x y + 3x cúng. y = 14

x y + 3x. y siny = 13

 

(A) y =   trong đó 2n  <y <2n  + 

(B) y =  trong đó 2n  +   <y <2n  + 

(C) cả hai

(D) Không có cái nào trong số này

Lời giải: Rõ ràng, x   0 chia các phương trình, ta được

bởi componentsndo và splitnodo, chúng tôi nhận được

 hoặc,  = 27 = 

hoặc, = 

chia tử số và mẫu số cho ấm, ta được

 hoặc  ,.

 siny = ,  warm =   (khi y nằm trong góc phần tư thứ nhất)

và siny = –  và ấm cúng = –  (khi y đang ở trong góc phần tư thứ 3)

Khi y nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Khi y nằm trong góc phần tư thứ 3.

Do đó y =   trong đó 2n  <y <2n  + 

và y =  trong đó 2n  +   <y <2n  + 

56. Nghiệm của sinx +  cosx =  là:

(A) 2np +                                    (B) 2np –  

(C)                                          (D) Không có

Lời giải: Cho trước,  cosx + sinx = 

Þ cos x + sinx = 

Þ cos

THỨ TỰ

Þ x = 2np ±   .

Þ x = 2np + , 2np –    trong đó n Î I.

Do đó (A, B) là câu trả lời đúng.

57. Nghiệm của phương trình tan q. tan 2q = 1 là:

(A) np +                                      (B) np –  

(C)                                                                  (D) np ±

Lời giải: Cho tan q. tan 2q = 1 Þ  = 1

Þ 2 tan ² q = 1 –tan ² qÞ 3 tan ² q = 1

Þ tan q =   Þq = np ±

Do đó (D) là câu trả lời đúng.

58. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

sin x – 3 sin 2x + sin 3x = cos x – 3 cos 2x + cos 3x:

(A)                                          (B) np –  

(C)                                                                     (D) np ±

Lời giải: Cho sin x – 3 sin 2x + sin 3x = cos x –3 cos 2x + cos 3x

Þ 2 sin 2x cos x – 3 sin 2x = 2 cos x cos 2x – 3 cos 2x

Þ sin 2x (2 cos x –3) = cos 2x (2 cos x –3) Þ sin 2x = cos 2x

(  cos x ¹ 3/2)

Þ tan 2x = 1 Þ 2x = np +   Þ x =  , n Î I.

Do đó (C) là câu trả lời đúng.

59. Giải phương trình sin ³ x + sin x cos x + cos ³ x = 1:

(A) 2mp (B) (4n + 1) 

(C) Cả hai (D) Không cái nào trong số này

Lời giải: Phương trình đã cho là sin ³  x + cos ³  x + sin x cos x = 1

Þ (sin x + cos x) (sin ²  x – sin x cos x + cos ²  x) + sin x cos x – 1 = 0

Þ (1 – sin x cos x) [sin x + cos x – 1] = 0

Hoặc 1 – sin x cos x = 0 Þ sin 2 x = 2 là không thể

Hoặc, sin x + cos x – 1 = 0 Þ cos (x – p / 4) =   Þ  ±

Þ x = 2mp và x = (4n + 1) 

Do đó (C) là câu trả lời đúng.

60. Phương trình e ^sinx  – e ^–sinx  – 4 = 0 có:

(A) không có giải pháp thực (B) một giải pháp thực sự

(C) không xác định được hai nghiệm thực (D)

Lời giải: Phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng

e ^{2 sin x}  – 4e ^{sin x}  – 1 = 0 Þ e ^{sin x}  =   = 2 + 

Þ sin x = ln (2 +  ) (ln (2 –  ) không xác định là (2 –  ) là âm)

Bây giờ, 2 +   > e Þ ln (2 +  )> 1 Þ sin x> 1

Điều nào là không thể. Do đó không có giải pháp thực sự.

Do đó (A) là câu trả lời đúng.

61. Nếu tan (p cos x) = cot (p sin x) thì   là

(A)                                                  (B)         

(C) 0 (D) Không có.

Giải: Cho rằng tan (p cos x) = cos (p sin x)

hoặc là         

.

Do đó (B) là câu trả lời đúng.

Xem thêm: 

Sarcoma of the Vulva của Ewing là gì? Cách chuẩn đoán và chế độ ăn	Sarcoma mô đệm nội mạc tử cung âm đạo là gì? Thông tin cần biết
Sarcoma hoạt dịch âm hộ là gì? Dấu hiệu nhận biết và chuẩn đoán bệnh	Sarcoma Ewing ở trẻ em là gì? Nguyên nhân, triệu chứng và điều trị