Phương trình lượng giác đầy đủ và chi tiết nhất

Phương trình lượng giác

Các phương trình liên quan đến các hàm lượng giác của một biến được gọi là phương trình lượng giác . Trong phần thảo luận sắp tới, chúng tôi sẽ cố gắng tìm nghiệm của các phương trình như vậy. Các phương trình này có một hoặc nhiều tỉ số lượng giác của góc chưa biết. Ví dụ, cos x -sin ²  x = 0, là một phương trình lượng giác không thỏa mãn tất cả các giá trị của x. Do đó đối với các phương trình như vậy, chúng ta phải tìm các giá trị của x hoặc tìm nghiệm.

Chúng ta biết rằng sin x và cos x lặp lại sau một khoảng thời gian 2π và tan x lặp lại sau một khoảng π. Các nghiệm của phương trình lượng giác nằm trong khoảng [0, 2π] được gọi là nghiệm chính. Một phương trình lượng giác cũng sẽ có một nghiệm tổng quát biểu thị tất cả các giá trị thỏa mãn phương trình đã cho và nó được biểu diễn dưới dạng tổng quát về ‘n’. Biểu diễn tổng quát của các phương trình này bao gồm các tỷ số lượng giác là;

E ₁ (sin x, cos x, tan x) = E ₂ (sin x, cos x, tan x)
Trong đó E ₁ và E ₂ là các hàm hữu tỉ.

Vì sin, côsin và tiếp tuyến là các hàm lượng giác chính , do đó các nghiệm sẽ được suy ra cho các phương trình bao gồm ba tỷ lệ này. Tuy nhiên, các giải pháp cho ba tỷ lệ khác như secant, cosecant và cotang có thể thu được với sự trợ giúp của các giải pháp đó.

Giải pháp cho phương trình lượng giác

Chúng ta hãy bắt đầu với một phương trình cơ bản, sin x = 0. Nghiệm chính cho trường hợp này sẽ là x = 0, π, 2π vì các giá trị này thỏa mãn phương trình đã cho nằm trong khoảng [0, 2π]. Nhưng, chúng ta biết rằng nếu sin x = 0 thì x = 0, π, 2π, π, -2π, -6π, v.v. là các nghiệm của phương trình đã cho. Do đó, nghiệm tổng quát của sin x = 0 sẽ là, x = nπ, trong đó n∈I.

Tương tự, nghiệm tổng quát cho cos x = 0 sẽ là x = (2n + 1) π / 2, n∈I, vì cos x có giá trị bằng 0 tại π / 2, 3π / 2, 5π / 2, -7π / 2, -11π / 2, v.v. Dưới đây là bảng xác định các nghiệm tổng quát của các phương trình liên quan đến hàm lượng giác đã cho.

Xem thêm:

Công thức lượng giác đầy đủ chi tiết

Hàm lượng giác chi tiết nhất

Chứng minh các nghiệm của phương trình lượng giác

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh các giải pháp này ở đây với sự trợ giúp của các định lý.

Định lý 1:  Với mọi số thực x và y, sin x = sin y ngụ ý x = nπ + (–1) ny, trong đó n ∈ Z

Chứng minh: Xét phương trình, sin x = sin y. Chúng ta hãy thử tìm nghiệm tổng quát cho phương trình lượng giác này.

sin x = sin y

⇒ sin x – sin y = 0

⇒2cos (x + y) / 2 sin (x – y) / 2 = 0

⇒cos (x + y) / 2 = 0 hoặc sin (x – y) / 2 = 0

Khi lấy giải pháp chung từ cả hai điều kiện, chúng tôi nhận được:

x = nπ + (-1) ⁿ y, trong đó n ∈ Z

Định lý 2: Với mọi số thực x và y, cos x = cos y, ngụ ý x = 2nπ ± y, trong đó n ∈ Z.

Chứng minh: Tương tự, nghiệm tổng quát của cos x = cos y sẽ là:

cos x – cos y = 0

2sin (x + y) / 2 sin (y – x) / 2 = 0

sin (x + y) / 2 = 0 hoặc sin (x – y) / 2 = 0

(x + y) / 2 = nπ hoặc (x – y) / 2 = nπ

Khi lấy giải pháp chung từ cả hai điều kiện, chúng tôi nhận được:

x = 2nπ ± y, trong đó n ∈ Z

Định lý 3: Chứng minh rằng nếu x và y không phải là bội lẻ của π / 2 thì tan x = tan y ngụ ý x = nπ + y, trong đó n ∈ Z.

Chứng minh: Tương tự, để tìm nghiệm của phương trình liên quan đến tan x hoặc các hàm số khác, ta có thể sử dụng phép biến đổi về phương trình lượng giác.

Nói cách khác, nếu tan x = tan y thì;

sin x cos y – sin y cos x = 0

sin (x – y) = 0 [Theo nhận dạng lượng giác]

Do đó, x – y = nπ hoặc x = nπ + y, trong đó n ∈ Z.

Ví dụ về phương trình lượng giác

Chúng ta cùng xem qua một ví dụ để có cái nhìn sâu sắc hơn về cách giải của phương trình lượng giác.

Q.1: sin 2x – sin 4x + sin 6x = 0

Giải: Cho: sin 2x – sin 4x + sin 6x = 0

⇒sin 2x + sin 6x – sin 4x = 0

⇒2sin 4x.cos 2x – sin 4x = 0

⇒sin 4x (2cos 2x – 1) = 0

⇒sin 4x = 0 hoặc cos 2x = ½

⇒4x = nπ hoặc 2x = 2nπ ± π / 3

Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình lượng giác đã cho là:

⇒x = nπ / 4 hoặc nπ ± π / 6

Q.2: Tìm nghiệm chính của phương trình sin x = 1/2.

Lời giải: Vì chúng ta đã biết, sin π / 6 = 1/2

và sin 5π / 6 = sin (π – π / 6) = sin π / 6 = 1/2

Do đó, các nghiệm chính là x = π / 6 và x = 5π / 6.

Để tìm hiểu thêm về phương trình lượng giác, lượng giác,

Xem thêm: