Phân biệt trong Toán học là gì
Trong Toán học, Phân biệt có thể được định nghĩa là một đạo hàm của một hàm đối với một biến độc lập. Phép phân biệt, trong giải tích, có thể được áp dụng để đo hàm trên mỗi đơn vị thay đổi trong biến độc lập.
Gọi y = f (x) là một hàm của x. Sau đó, tỷ lệ thay đổi của “y” trên mỗi đơn vị thay đổi trong “x” được cho bởi:
dy / dx
Nếu hàm f (x) trải qua một sự thay đổi vô cùng nhỏ của ‘h’ gần với bất kỳ điểm nào ‘x’, thì đạo hàm của hàm được xác định là
limh → 0f( x + h ) – f( x )h
Đạo hàm của hàm dưới dạng giới hạn
Nếu chúng ta được cho với hàm có giá trị thực (f) và x là một điểm trong miền xác định của nó, thì đạo hàm của hàm, f, được cho bởi:
f ‘(a) = lim h → 0 [f (x + h) -f (x)] / h
miễn là giới hạn này tồn tại.
Hãy để chúng tôi xem một ví dụ ở đây để hiểu rõ hơn.
Ví dụ: Tìm đạo hàm của f = 2x, tại x = 3.
Giải pháp: Bằng cách sử dụng các công thức trên, chúng ta có thể tìm thấy,
f ‘(3) = lim h → 0 [f (3 + h) -f (3] / h = lim h → 0 [2 (3 + h) -2 (3)] / h
f ‘(3) = lim h → 0 [6 + 2h-6] / h
f ‘(3) = lim h → 0 2h / h
f ‘(3) = lim h → 0 2 = 2
Ngoài ra, hãy kiểm tra Tính liên tục và Khả năng phân biệt để hiểu biểu thức trên.
Ký hiệu
Khi một hàm được ký hiệu là y = f (x), thì đạo hàm được biểu thị bằng các ký hiệu sau.
- D (y) hoặc D [f (x)] được gọi là ký hiệu của Euler.
- dy / dx được gọi là ký hiệu Leibniz.
- F ‘(x) được gọi là ký hiệu Lagrange.
Ý nghĩa của phép phân biệt là quá trình xác định đạo hàm của một hàm số tại một điểm bất kỳ.
Hàm tuyến tính và phi tuyến tính
Các hàm thường được phân loại thành hai loại trong Giải tích, đó là:
(i) Các hàm tuyến tính
(ii) Các hàm phi tuyến tính
Một hàm tuyến tính thay đổi với một tốc độ không đổi thông qua miền của nó. Do đó, tốc độ thay đổi tổng thể của hàm giống như tốc độ thay đổi của một hàm tại bất kỳ điểm nào.
Tuy nhiên, tốc độ thay đổi của hàm thay đổi theo từng điểm trong trường hợp hàm phi tuyến tính. Tính chất của sự biến thiên dựa trên bản chất của hàm số.
Tốc độ thay đổi của một hàm tại một điểm cụ thể được định nghĩa là đạo hàm của hàm cụ thể đó.
Công thức phân biệt
Các công thức phân biệt quan trọng được đưa ra dưới đây trong bảng. Ở đây, chúng ta hãy coi f (x) là một hàm và f ‘(x) là đạo hàm của hàm.
|
Cũng thấy:
|
Quy tắc phân biệt
Các quy tắc phân biệt cơ bản cần phải tuân theo như sau:
- Quy tắc Tổng và Chênh lệch
- Quy tắc nhân
- Quy tắc thương số
- Quy tắc chuỗi
Hãy để chúng tôi thảo luận ở đây.
Quy tắc Tổng hoặc Chênh lệch
Nếu hàm là tổng hoặc hiệu của hai hàm, thì đạo hàm của hàm là tổng hoặc hiệu của các hàm riêng lẻ, tức là
Nếu f (x) = u (x) ± v (x)
thì f ‘(x) = u’ (x) ± v ‘(x)
Quy tắc nhân
Theo quy tắc tích , nếu hàm f (x) là tích của hai hàm u (x) và v (x), thì đạo hàm của hàm là,
Nếuf( x ) = u ( x ) × v ( x )
sau đó,f′( x ) =u′( x ) × v ( x ) + u ( x ) ×v′( x )
Quy tắc thương số
Nếu hàm số f (x) đồng dạng với hai hàm số [u (x)] / [v (x)] thì đạo hàm của hàm số là
Nếu,f( x ) =u ( x )v ( x )
sau đó,f′( x ) =u′( x ) × v ( x ) – u ( x ) ×v′( x )( v ( x ))2
Quy tắc chuỗi
Nếu một hàm y = f (x) = g (u) và nếu u = h (x), thì quy tắc chuỗi cho sự khác biệt được xác định là,
d yd x=d yd bạn×d bạnd x
Điều này đóng một vai trò quan trọng trong phương pháp thay thế giúp thực hiện phân biệt các chức năng tổng hợp.
Ứng dụng thực tế của sự khác biệt
Với sự trợ giúp của sự khác biệt, chúng ta có thể tìm thấy tốc độ thay đổi của một đại lượng đối với đại lượng khác. Một số ví dụ là:
- Gia tốc: Tỷ lệ thay đổi của vận tốc theo thời gian
- Để tính điểm cao nhất và thấp nhất của đường cong trong đồ thị hoặc để biết điểm chuyển của nó, hàm đạo hàm được sử dụng
- Để tìm tiếp tuyến và pháp tuyến của một đường cong
Các ví dụ đã giải quyết
H.1: Phân biệt f (x) = 6x 3 -9x + 4 với x.
Lời giải: Cho: f (x) = 6x 3 -9x + 4
Khi phân biệt cả hai bên wrt x, chúng ta nhận được;
f ‘(x) = (3) (6) x 2 – 9
f ‘(x) = 18x 2 – 9
Đây là câu trả lời cuối cùng.
Q.2: Phân biệt y = x (3x 2 – 9)
Lời giải: Cho trước, y = x (3x 2 – 9)
y = 3x 3 – 9x
Khi phân biệt cả hai mặt, chúng tôi nhận được,
dy / dx = 9x 2 – 9
Đây là câu trả lời cuối cùng.
Để biết thêm về Phân biệt và bất kỳ chủ đề nào liên quan đến Toán học, vui lòng truy cập chúng tôi tại BYJU’S.