Contents
Lịch sử của Tam giác Pascal
Blaise Pascal sinh ra tại Clermont-Ferrand, vùng Auvergne của Pháp vào ngày 19 tháng 6 năm 1623. Năm 1653, ông viết cuốn Chuyên luận về Tam giác số học mà ngày nay được gọi là Tam giác Pascal . Mặc dù các nhà toán học khác ở Ba Tư và Trung Quốc đã độc lập khám phá ra tam giác vào thế kỷ XI, nhưng hầu hết các tính chất và ứng dụng của tam giác đều do Pascal khám phá ra.
Tam giác này là một trong nhiều đóng góp của Pascal cho toán học. Ông cũng đưa ra các định lý quan trọng trong hình học, khám phá ra nền tảng của xác suất và phép tính, đồng thời cũng phát minh ra máy tính Pascaline. Tuy nhiên, ông vẫn được biết đến với những đóng góp của mình cho tam giác Pascal.
Định nghĩa tam giác Pascal
Hầu hết mọi người được làm quen với tam giác Pascal thông qua một bộ quy tắc có vẻ như tùy ý. Bắt đầu với 1 ở trên cùng và với 1 chạy xuống hai cạnh của một tam giác. Mỗi số mới nằm giữa hai số và bên dưới chúng, và giá trị của nó là tổng của hai số trên nó. Tam giác lý thuyết là vô hạn và tiếp tục đi xuống mãi mãi, nhưng chỉ có 6 dòng đầu tiên xuất hiện trong hình 1. Nhiều hàng của tam giác Pascal được liệt kê trong hình cuối cùng của bài viết này. Một cách khác để mô tả tam giác là xem dòng đầu tiên là một dãy vô hạn các số không ngoại trừ một số 1. Để có được các dòng liên tiếp, hãy cộng mọi cặp số liền kề và viết tổng giữa và dưới chúng. Phần khác 0 là tam giác Pascal.
Xây dựng Tam giác Pascal
Cách dễ nhất để xây dựng tam giác là bắt đầu từ hàng 0 và chỉ viết số một. Từ đó, để có được các số trong các hàng sau, hãy thêm số trực tiếp ở trên và bên trái của số với số ở trên và ở bên phải của nó. Nếu không có số nào ở bên trái hoặc bên phải, hãy thay thế số 0 cho số bị thiếu đó và tiến hành phép cộng. Đây là hình minh họa các hàng từ 0 đến 5.
Từ hình trên, nếu chúng ta thấy theo đường chéo, đường chéo đầu tiên là danh sách của một người, dòng thứ hai là danh sách các số đếm , đường chéo thứ ba là danh sách các số hình tam giác, v.v.
Cách sử dụng Tam giác Pascal
Tam giác Pascal có thể được sử dụng trong các điều kiện xác suất khác nhau. Giả sử nếu chúng ta tung đồng xu một lần, thì chỉ có hai khả năng nhận được kết quả, đó là Đầu (H) hoặc Đuôi (T).
Nếu chúng ta tung nó hai lần, thì có một khả năng nhận được cả hai đầu HH và cả hai đuôi là TT, nhưng có hai khả năng nhận được ít nhất một Đầu hoặc một Đuôi, tức là HT hoặc TH.
Bây giờ bạn có thể xem xét tam giác Pascal sẽ giúp ích như thế nào ở đây. Vì vậy, chúng ta hãy xem bảng được đưa ra ở đây dựa trên số lần tung và kết quả.
| Số lần tung | Số lượng kết quả | Tam giác Pascal |
| 1 | H
T |
1,1 |
| 2 | HH
HT TH TT |
1, 2, 1 |
| 3 | HHH
HHT, HTH, THH HTT, THT, TTH TT |
1,3,3,1 |
Chúng ta cũng có thể mở rộng nó bằng cách tăng số lần tung.
Các mẫu tam giác Pascal
1) Phép cộng các hàng: Một trong những tính chất thú vị của tam giác là tổng các số trong một hàng bằng 2 n
trong đó n tương ứng với số của hàng:
1 = 1 = 2 0
1 + 1 = 2 = 2 1
1 + 2 + 1 = 4 = 2 2
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2 3
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2 4
2) Các số nguyên tố trong tam giác: Một mẫu khác có thể nhìn thấy trong tam giác đề cập đến các số nguyên tố. Nếu một hàng bắt đầu bằng số nguyên tố hoặc là một hàng được đánh số nguyên tố, thì tất cả các số trong hàng đó (không tính số 1) đều chia hết cho số nguyên tố đó. Nếu chúng ta nhìn vào hàng 5 (1 5 10 10 51), chúng ta có thể thấy rằng 5 và 10 chia hết cho 5. Tuy nhiên, đối với một hàng được đánh số tổng hợp, chẳng hạn như hàng 8 (1 8 28 56 70 56 28 8 1), 28 và 70 không chia hết cho 8.
3) Dãy Fibonacci trong tam giác: Bằng cách cộng các số vào các đường chéo của tam giác Pascal, dãy Fibonacci có thể thu được như trong hình bên dưới.
Có nhiều cách khác nhau để hiển thị số Fibonacci trên tam giác Pascal. R. Knott đã có thể tìm thấy Fibonacci xuất hiện dưới dạng tổng các “hàng” trong tam giác Pascal. Anh ta di chuyển tất cả các hàng qua một chỗ và ở đây tổng các cột sẽ đại diện cho số Fibonacci.
Tính chất của Tam giác Pascal
-
- Mỗi số là tổng của hai số trên nó.
- Các số bên ngoài đều là 1.
- Tam giác là đối xứng.
- Đường chéo đầu tiên hiển thị số đếm.
- Tổng của các hàng có lũy thừa là 2.
- Mỗi hàng cho các chữ số của lũy thừa là 11.
- Mỗi mục nhập là một “chọn số” thích hợp.
- Và đó là “hệ số nhị thức.”
- Các số Fibonacci nằm ở đó dọc theo các đường chéo.
Đây là một phiên bản 18 cạnh của tam giác pascal;
Công thức
Công thức để tìm mục nhập của một phần tử trong hàng thứ n và cột thứ k của tam giác pascal được đưa ra bởi:
(nk). Các phần tử của các hàng và cột sau có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức cho bên dưới.
(nk) = (n – 1k – 1) + (n – 1k)
Ở đây, n là bất kỳ số nguyên không âm nào và 0 ≤ k ≤ n.
Ký hiệu trên có thể được viết là:
(nk)(tức là, n chọn k) = C (n, k) = nC k = n! / [k! (n – k)!]
Mô hình nhận hệ số nhị thức này được gọi là quy tắc Pascal.
Khai triển nhị thức tam giác Pascal
Tam giác Pascal xác định các hệ số xuất hiện trong khai triển nhị thức . Điều đó có nghĩa là hàng thứ n của tam giác Pascal bao gồm các hệ số của biểu thức khai triển của đa thức (x + y) n .
Khai triển của (x + y) n là:
(x + y) n = a 0 x n + a 1 x n-1 y + a 2 x n-2 y 2 +… + a n-1 xy n-1 + a n y n
trong đó các hệ số dạng a k chính xác là các số trong hàng thứ n của tam giác Pascal. Điều này có thể được diễn đạt như sau:
ak= (nk)
Ví dụ, chúng ta hãy khai triển biểu thức (x + y) n với n = 3.
(x + y) 3 = 3C 0 x 3 + 3C 1 x 2 y + 3C 2 xy 2 + 3C 3 x 0 y 3
= (1) x 3 + (3) x 2 y + (3) xy 2 + (1) y 3
Ở đây, các hệ số 1, 3, 3, 1 đại diện cho các phần tử ở hàng thứ 3 của tam giác pascal.
Xem thêm:
Sự khác biệt giữa Python 2.x và Python 3.x
Thuộc tính của ma trận Transpose là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.
Ký hiệu xác suất và thống kê là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.
