Ý nghĩa tích hợp
Ý nghĩa phổ biến nhất của tích phân là đối tượng thực của giải tích tương ứng với tổng các mảnh nhỏ để tìm nội dung của một vùng liên tục. Tích hợp là quá trình tính toán một tích phân và một thuật ngữ lỗi thời hơn cho tích hợp là cầu phương. Ước lượng gần đúng của một tích phân được gọi là tích phân số. Ngoài ra, tích phân có thể được phân thành hai loại, đó là tích phân xác định và tích phân không xác định.
Tích phân xác định
Một tích phân có chứa các giới hạn trên và dưới (tức là giá trị đầu và cuối) được gọi là một tích phân xác định. Số của x bị hạn chế nằm trên đường thực. Một tích phân xác định được viết là:
∫baf( x ) dxĐây,
f (x) = Một hàm của biến số thực x,
a, b = giới hạn (khoảng [a, b] trên đường thực]
Điều này có thể được đơn giản hóa như sau:
∫baf( x ) dx = [ F( x )]ba= F( b ) – F( a )Tích phân xác định còn được gọi là tích phân Riemann khi nó được xác định nằm trên đường thực.
Không xác định, không thể thiếu
Các tích phân không xác định đại diện cho họ của hàm đã cho có đạo hàm là các hàm. Nó mang lại một hàm của biến độc lập sau khi tích hợp. Tích phân không xác định không được xác định bằng cách sử dụng các giới hạn trên và dưới.
Tích phân của một hàm f (x) được cho bởi F (x) và nó được viết dưới dạng
∫f (x) dx = F (x) + C
Ở đâu,
F (x) + C của phương trình có nghĩa là tích phân của f (x) đối với x
F (x) được gọi là hàm phản đạo hàm hay nguyên hàm.
f (x) được gọi là tích phân.
dx được gọi là tác nhân tích phân.
C được gọi là hằng số tích phân.
x là biến của tích phân.
Phép toán tích hợp, cho đến một hằng số cộng, là nghịch đảo của phép toán phân biệt. Vì lý do này, thuật ngữ tích phân cũng có thể đề cập đến khái niệm liên quan về hàm phản đạo hàm. Do đó, một hàm F hoặc F (x) có đạo hàm là hàm f hoặc f (x) đã cho.
Công thức tích phân
Một số công thức quan trọng của hàm tích phân được liệt kê dưới đây:
Công thức uv tích phân
Công thức uv của tích phân thường được sử dụng để tính tích phân theo từng phần . Điều này có thể được diễn đạt như sau:
∫du (dvdx) dx = u v – ∫v (dudx) dxĐây,
u = Hàm của u (x)
v = Hàm của v (x)
dv = Đạo hàm của v (x)
du = Đạo hàm của u (x)
Nhật ký tích phân x
Hãy để chúng tôi suy ra công thức cho log tích phân x ở đây.
∫log x dx
Chúng ta biết rằng,
∫ uv ′ = uv – ∫ vu ′ trong đó u và v là các hàm của x và nguyên tố ở đây chỉ đạo hàm.
Sử dụng quy tắc ILATE, chúng ta hãy lấy các hàm dưới dạng u (x) và v (x).
u (x) = log x và v (x) = x
Do đó, bằng cách thay thế các hàm này trong công thức, chúng ta nhận được,
∫log x dx = x (log x) – ∫x. (Dx / x) + C
= x (log x) – ∫dx + C
= x (log x) – x + C
Trong đó C là hằng số tích hợp.
Tích phân của tan x
Tích phân của tan x có thể được suy ra bằng phương pháp thay thế. Ở đây, chúng ta phải giả sử một phần của hàm là u và tìm đạo hàm của hàm này để thay thế trong tích phân của hàm đã cho. Điều này có thể được hiểu theo cách tốt hơn bằng cách sử dụng dẫn xuất được đưa ra dưới đây.
∫tan x dx
Cho cos x = u
-sinx dx = du
sin x dx = -du
∫tan x dx
= ∫ (sin x / cos x) dx
= -∫du / u
= -ln u + C
= -ln cos x + C
Hoặc là
= ln giây x + C
Do đó, ∫tan x dx = -ln (cos x) + C = ln (sec x) + C
