Cấp số cộng, xem xong hiểu luôn.

Cấp số cộng

Cấp số học (AP) là một dãy số theo thứ tự mà hiệu của hai số liên tiếp bất kỳ là một giá trị không đổi. Ví dụ, dãy số tự nhiên : 1, 2, 3, 4, 5, 6,… là một AP, có hiệu chung giữa hai số hạng liên tiếp (giả sử 1 và 2) bằng 1 (2 -1). Ngay cả trong trường hợp số lẻ và số chẵn, chúng ta có thể thấy hiệu số chung giữa hai số hạng liên tiếp sẽ bằng 2.

Kiểm tra: Toán lớp 11

Nếu chúng ta quan sát trong cuộc sống thường xuyên của mình, chúng ta bắt gặp cấp số học khá thường xuyên. Ví dụ: Điểm danh số học sinh trong một lớp, số ngày trong tuần hoặc tháng trong năm. Mô hình chuỗi và chuỗi này đã được khái quát trong Toán học dưới dạng cấp tiến.

• Định nghĩa

• • Sự khác biệt chung
  • Điêu khoản đâu tiên
• Hình thức chung
• Kỳ thứ N
• Tổng của kỳ thứ N
• Danh sách công thức
• Câu hỏi và giải pháp
• Các vấn đề cần giải quyết

• 

Định nghĩa

Trong toán học, có ba loại cấp tiến khác nhau. Họ đang:

• Tiến trình số học (AP)
• Tiến trình hình học (GP)
• Tiến trình hài (HP)

Một cấp số tiến là một loại trình tự đặc biệt mà có thể nhận được công thức cho số hạng thứ n. Tiến trình số học là dãy số được sử dụng phổ biến nhất trong toán học với các công thức dễ hiểu. Hãy xem ba loại định nghĩa khác nhau của nó.

Định nghĩa 1: Một dãy toán học trong đó hiệu giữa hai số hạng liên tiếp luôn là một hằng số và nó được viết tắt là AP.

Định nghĩa 2: Một dãy số hay một cấp số cộng được định nghĩa là một dãy số trong đó với mọi cặp số hạng liên tiếp, số thứ hai nhận được bằng cách thêm một số cố định vào số thứ nhất.

Định nghĩa 3: Số cố định phải thêm vào bất kỳ số hạng nào của AP để có số hạng tiếp theo được gọi là hiệu chung của AP. Bây giờ, chúng ta hãy xem xét dãy số, 1, 4, 7, 10, 13, 16,… được coi là một dãy số học với công thức chung là 3.

Ký hiệu trong AP

Trong AP, chúng ta sẽ gặp ba thuật ngữ chính, được ký hiệu là:

• Điểm khác biệt chung (d)
• Thuật ngữ thứ n (a _n )
• Tổng của n số hạng đầu tiên (S _n )

Cả ba thuật ngữ đại diện cho thuộc tính của Tiến trình số học. Chúng ta sẽ tìm hiểu thêm về ba thuộc tính này trong phần tiếp theo.

Sự khác biệt chung trong cấp số học

Trong tiến trình này, đối với một chuỗi nhất định, các số hạng được sử dụng là số hạng đầu tiên, sự khác biệt chung giữa hai số hạng và số hạng thứ n. Giả sử,  a ₁ , a ₂ , a ₃ , ……………., A _n là AP, khi đó;  sự khác biệt chung “d” có thể nhận được là;

Trong đó “d” là một sự khác biệt phổ biến. Nó có thể là số dương, số âm hoặc số không.

Kỳ đầu tiên của AP

AP cũng có thể được viết theo sự khác biệt chung, như sau;

trong đó “a” là số hạng đầu tiên của tiến trình.

Cũng kiểm tra:

Dạng tổng quát của một A. P

Coi AP là:  a ₁ , a ₂ , a ₃ , ……………., A _n

Công thức

Có hai công thức chính mà chúng ta bắt gặp khi tìm hiểu về Tiến trình số học, có liên quan đến:

• Thuật ngữ thứ n của AP
• Tổng của n số hạng đầu tiên

Điều khoản thứ n của AP

Công thức để tìm số hạng thứ n của một AP là:

Ở đâu

a = Kỳ đầu tiên

d = Sự khác biệt chung

n = số điều khoản

a _n  = số hạng thứ n

Ví dụ: Tìm số hạng thứ n của AP: 1, 2, 3, 4, 5….,  A _n , nếu số hạng là 15.

Lời giải: Cho, AP: 1, 2, 3, 4, 5….,  A _n

n = 15

Theo công thức chúng ta biết, a _n = a + (n-1) d

Số hạng đầu, a = 1

Chênh lệch chung, d = 2-1 = 1

Do đó, a _n = 1+ (15-1) 1 = 1 + 14 = 15

Lưu ý:  Phần hữu hạn của AP được gọi là AP hữu hạn và do đó tổng của AP hữu hạn được gọi là chuỗi số học. Hành vi của chuỗi phụ thuộc vào giá trị của một sự khác biệt chung.

• Nếu giá trị của “d” là dương, thì các điều khoản thành viên sẽ phát triển theo hướng dương vô cùng
• Nếu giá trị của “d” là số âm, thì các số hạng thành viên sẽ tăng dần theo âm vô cực

Tổng của N Điều khoản của AP

Đối với bất kỳ cấp tiến nào, có thể dễ dàng tính được tổng của n số hạng. Đối với một AP, tổng của n số hạng đầu tiên có thể được tính nếu số hạng đầu tiên và tổng số hạng đã biết. Công thức cho tổng cấp số cộng được giải thích dưới đây:

Hãy xem xét một AP bao gồm “n” thuật ngữ.

Đây là công thức tính tổng AP để tìm tổng của n số hạng trong chuỗi.

Chứng minh:  Xét một AP bao gồm “n” số hạng có dãy a, a + d, a + 2d, …………., A + (n – 1) × d

Tổng của n số hạng đầu tiên = a + (a + d) + (a + 2d) + ………. + [a + (n – 1) × d] ——————- (i)

Viết các điều khoản theo thứ tự ngược lại, chúng ta có:

S = [a + (n – 1) × d] + [a + (n – 2) × d] + [a + (n – 3) × d] + ……. (a) ———– (ii)

Thêm cả hai thuật ngữ phương trình khôn ngoan, chúng ta có:

2S = [2a + (n – 1) × d] + [2a + (n – 1) × d] + [2a + (n – 1) × d] + …………. + [2a + (n – 1) × d] (n số hạng)

2S = n × [2a + (n – 1) × d]

S = n / 2 [2a + (n – 1) × d]

Ví dụ: Ta lấy ví dụ về phép cộng các số tự nhiên có đến 15 số.

AP = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15

Cho trước, a = 1, d = 2-1 = 1 và an = 15

Bây giờ, theo công thức chúng ta biết;

S = n / 2 [2a + (n – 1) × d] = 15/2 [2.1+ (15-1) .1]

S = 15/2 [2 + 14] = 15/2 [16] = 15 x 8

S = 120

Do đó, tổng của 15 số tự nhiên đầu tiên là 120.

Tổng AP khi Kỳ cuối cùng được đưa ra

Công thức tìm tổng AP khi cho số hạng đầu và số hạng cuối như sau:

Danh sách công thức

Danh sách các công thức được đưa ra dưới dạng bảng được sử dụng trong AP. Những công thức này rất hữu ích để giải quyết các vấn đề dựa trên khái niệm chuỗi và chuỗi.

Các câu hỏi và giải pháp về tiến trình số học

Dưới đây là các bài toán tìm số hạng thứ n và tổng của dãy được giải chi tiết bằng công thức tính tổng AP. Hãy xem qua chúng một lần và giải quyết các vấn đề thực hành để nâng cao kỹ năng của bạn.

Ví dụ 1: Tìm giá trị của n. Nếu a = 10, d = 5, a _n  = 95.

Lời giải:  Cho, a = 10, d = 5, a _n = 95

Từ công thức của số hạng tổng quát, chúng ta có:

a _n = a + (n – 1) × d

95 = 10 + (n – 1) × 5

(n – 1) × 5 =  95 – 10 = 85

(n – 1) =  85/5

(n – 1) = 17

n = 17 + 1

n = 18

Ví dụ 2: Tìm số hạng thứ 20 của AP đã cho: 3, 5, 7, 9, ……

Giải pháp:  Đưa ra,

3, 5, 7, 9, ……

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

a _n = a + (n – 1) × d

a ₂₀ = 3 + (20 – 1) × 2

a ₂₀ = 3 + 38

⇒a ₂₀ = 41

Ví dụ 3: Tìm tổng của 30 bội số đầu tiên của 4.

Lời giải: Cho,  a = 4, n = 30, d = 4

Chúng tôi biết,

S = n / 2 [2a + (n – 1) × d]

S = 30/2 [2 (4) + (30 – 1) × 4]

S = 15 [8 + 116]

S = 1860

Sự cố trên AP

Tìm các câu hỏi dưới đây dựa trên công thức dãy số học và giải nó để thực hành tốt.

Câu 1: Tìm a_n và số hạng thứ 10 của cấp tiến: 3, 1, 17, 24, ……

Câu 2: Nếu a = 2, d = 3 và n = 90. Tìm a _n  và S _n .

Câu 3: Số hạng thứ 7 và số hạng thứ 10 của một AP là 12 và 25. Tìm số hạng thứ 12.

Để tìm hiểu thêm về các loại công thức khác nhau với sự trợ giúp của các video được cá nhân hóa, hãy tải xuống   BYJU’S-Ứng dụng Học tập và làm cho việc học trở nên thú vị.

Câu hỏi thường gặp – Câu hỏi thường gặp

Công thức cấp số học là gì?

Dạng tổng quát của cấp số cộng được cho bởi a, a + d, a + 2d, a + 3d ,. . .. Do đó, công thức để tìm số hạng thứ n là:
an = a + (n – 1) × d

Cấp số cộng là gì? Cho một ví dụ.

Một dãy số có hiệu chung giữa hai số liên tiếp bất kỳ được gọi là một cấp số cộng (AP). Ví dụ về AP là 3,6,9,12,15,18,21,…

Làm thế nào để tìm tổng của cấp số cộng?

Để tìm tổng của cấp số cộng, chúng ta phải biết số hạng đầu tiên, số số hạng và công sai chung giữa mỗi số hạng. Sau đó, sử dụng công thức cho dưới đây:
S = n / 2 [2a + (n – 1) × d]

Các dạng tăng dần trong Toán học là gì?

Có ba loại tiến trình trong Toán học. Đó là:
Tiến trình số học (AP)
Tiến trình hình học (GP)
Tiến trình hài hòa (HP)

Công dụng của Tiến trình số học là gì?

Một cấp số cộng là một dãy số có các số hạng liên tiếp có hiệu chung giữa các số hạng là một giá trị không đổi. Nó được sử dụng để khái quát một tập hợp các mẫu mà chúng ta quan sát được trong cuộc sống hàng ngày.

Xem thêm: 

• Tỷ lệ nghịch là gì? xem xong 5 phút hiểu luôn.
• Quy tắc bệnh viện L là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

  Hàm lượng giác ngược là gì? xem xong 5 phút hiểu luôn