Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Cách giải phương trình vi phân tuyến tính là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18 năm 2021

Phương trình tuyến tính hoặc đa thức, với một hoặc nhiều số hạng, bao gồm các đạo hàm của biến phụ thuộc đối với một hoặc nhiều biến độc lập được gọi là phương trình vi phân tuyến tính.

Một phương trình vi phân cấp một tổng quát được cho bởi biểu thức:

dy / dx + Py = Q trong đó y là hàm và dy / dx là đạo hàm.

Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính tạo ra giá trị của biến y.

Ví dụ:

  • dy / dx + 2y = sin x
  • dy / dx + y = e x

Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính

Phương trình vi phân tuyến tính được xác định bởi phương trình đa thức tuyến tính, bao gồm các đạo hàm của một số biến. Nó cũng được phát biểu là Phương trình vi phân từng phần tuyến tính khi hàm phụ thuộc vào các biến và đạo hàm là từng phần.

Phương trình vi phân có dạng trên được gọi là phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất  trong đó P và Q chỉ là hằng số hoặc hàm của biến độc lập (trong trường hợp này là x).

Ngoài ra, phương trình vi phân có dạng,  dy / dx + Py = Q , là   phương trình vi phân tuyến tính cấp một trong đó P và Q chỉ là hằng số hoặc hàm của y (biến độc lập).

Để tìm nghiệm phương trình vi phân tuyến tính, chúng ta phải suy ra dạng tổng quát hoặc biểu diễn của nghiệm.

Giải pháp phương trình vi phân tuyến tính

Phương trình vi phân không tuyến tính

Khi một phương trình không tuyến tính trong hàm chưa biết và các đạo hàm của nó, thì nó được cho là một phương trình vi phân phi tuyến. Nó cung cấp các giải pháp đa dạng có thể được nhìn thấy cho sự hỗn loạn. 

Giải phương trình vi phân tuyến tính

Để tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính như vậy, chúng ta xác định một hàm của biến độc lập, giả sử M (x), được gọi là hệ số tích phân (IF).

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với tích phân số M (x) ta được;

M (x) dy / dx + M (x) Py = QM (x)  … .. (2)

Bây giờ chúng tôi chọn M (x) theo cách sao cho LHS của phương trình (2) trở thành đạo hàm của yM (x)

tức là    d (yM (x)) / dx = (M (x)) dy / dx + y (d (M (x))) dx… (Sử dụng d (uv) / dx = v (du / dx) + u (dv / dx)

⇒ M (x) / (dy / dx) + M (x) Py = M (x) dy / dx + yd (M (x)) / dx

⇒ M (x) Py = y dM (x) / dx

⇒ 1 / M ‘(x) = P.dx 

Tích cả hai vế đối với x, ta được;

log M (x) = Pdf)f)gf)

⇒ M (x) = ePdx NẾU

Bây giờ, sử dụng giá trị này của hệ số tích phân, chúng ta có thể tìm ra nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất.

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với IF ta được

ePdxdYdxPePdxQePdx

Điều này có thể dễ dàng được viết lại thành:

d.ePdx)dxQePdxUtôi gd)dxvdudxudvdx)

Bây giờ tích hợp cả hai bên đối với x, chúng ta nhận được:

d.ePdxQePdxdc

Y=1ePdxQePdxd)

trong đó C là một số hằng số tùy ý.

Cách giải phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất

Tìm hiểu cách giải phương trình vi phân bậc nhất với sự trợ giúp của các bước dưới đây.

  1. Sắp xếp lại các số hạng của phương trình đã cho dưới dạng dy / dx + Py = Q

          trong đó P và Q chỉ là hằng số hoặc hàm của biến độc lập x.

  1. Để có thừa số tích phân, tích phân P (thu được ở bước 1) với x và đặt tích phân này dưới dạng lũy ​​thừa của e.

ePdx = NẾU

  1. Nhân cả hai vế của phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất với IF

ePdxdYdxPePdxQePdx

  1. LHS của phương trình luôn là đạo hàm của y × M (x)

tức là LHS = d (y × IF) / dx

d (y × IF) dx = Q × IF 

  1. Trong bước cuối cùng, chúng ta chỉ cần tích hợp cả hai vế đối với x và nhận được số hạng C không đổi để có được nghiệm.

∴ y × IF = × IFdC ,

trong đó C là một số hằng số tùy ý

Tương tự, chúng ta cũng có thể giải một dạng khác của phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất dx / dy + Px = Q bằng các bước tương tự. Ở dạng này P và Q là các hàm của y. Yếu tố tích hợp (IF) xuất hiện và sử dụng điều này, chúng tôi tìm ra giải pháp

(x) × (IF) = × IFdYc

Bây giờ, để hiểu rõ hơn về phương trình vi phân tuyến tính, chúng ta hãy thử giải một số câu hỏi. trong đó C là một số hằng số tùy ý.

Các ví dụ đã giải quyết

Ví dụ 1: Giải LDE =   dy / dx = [1 / (1 + x 3 )] – [3x 2 / (1 + x 2 )] y

Giải pháp:

Phương trình đã đề cập ở trên có thể được viết lại thành   dy / dx + [3x 2 / (1 + x 2 )] y = 1 / (1 + x 3 )

So sánh nó với  dy / dx + Py = O , chúng ta nhận được

P = 3x 2 /1 + x 3

Q = 1/1 + x 3

Hãy tìm ra hệ số tích phân (IF) là ePdx

⇒IF =  e3x2+x3d=e+x3)

⇒IF = 1 + x 3

Bây giờ, chúng ta cũng có thể viết lại LHS thành:

d (y × IF) / dx, 

⇒ d (y × (1 + x 3 )) dx = [1 / (1 + x 3 )] × (1 + x 3 )

Tích hợp cả hai cạnh wrt x, chúng tôi nhận được,

⇒ y ×  (1 + x 3 ) = x

⇒ y = x / (1 + x 3 )

⇒ y = [ x / (1 + x  ) + C

Ví dụ 2:

Giải phương trình vi phân sau:  

dy / dx + (giây x) y = 7 

Giải pháp:

So sánh phương trình đã cho với dy / dx + Py = Q 

Ta thấy, P = giây x, Q = 7

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu hệ số tích phân bằng công thức

ePdx= NẾU

edx  = NẾU

⇒IF =  e|x

Bây giờ chúng ta cũng có thể viết lại LHS dưới dạng

d (y × IF) / dx} ,

I E. d (y × (giây x + tan x))

⇒ d (y × (giây x + tan x)) / dx = 7 (giây x + tan x) 

Tích hợp cả hai cạnh wrt x, chúng tôi nhận được,

d× dx

⇒ y× | s | + gsecx | )

⇒ y = | s | + gsecx |)c

Ví dụ 3:

Một đường cong đi qua gốc tọa độ và hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm R (x, y) trong đó -1 <x <1 là ( 4 + 2xy + 1) / (1 – x 2 ) . Phương trình của đường cong sẽ như thế nào?

Giải pháp:

Chúng ta biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến tại (x, y) là,

tanƟ = dy / dx = (x 4 + 2xy + 1) / 1 – x 2

Sắp xếp lại phương trình ở dạng dy / dx + Py = Q  , chúng ta nhận được

dy / dx = 2xy / (1 – x 2 ) + (x 4 + 1) / (1 – x 2 )

⇒ dy / dx – 2xy / (1 – x 2 ) = (x 4 + 1) / (1 – x 2 )

So sánh ta được P = -2x / (1 – x 2 )

Q = ( 4 + 1) / (1 – x 2 )

Bây giờ, chúng ta hãy tìm hiểu hệ số tích phân bằng cách sử dụng công thức.

ePdx= NẾU

⇒ e– xx2d=ex2)x2 NẾU

Bây giờ chúng ta cũng có thể viết lại LHS dưới dạng

d× tôiF)dx,

I E d× x2)dx=x41x2× x2

Tích hợp cả hai cạnh wrt x, chúng tôi nhận được,

d× x2x41x2× x2dx

⇒ y× x2x4ngàyx   …… (1)

 x (1 – x 2 ) = x 5 /5 + x + C

⇒ y = x 5/5 + x / (1 – x 2 ) + C 

Nó là phương trình bắt buộc của đường cong. Cũng như đường cong đi qua điểm gốc; thay các giá trị x = 0, y = 0 vào phương trình trên. Như vậy, C = 0.

Do đó, phương trình của đường cong là:  ⇒ y = x 5 /5 + x / (1 – x 2 )

Câu hỏi thường gặp – Câu hỏi thường gặp

Một phương trình vi phân tuyến tính là gì?

Phương trình tuyến tính hoặc đa thức, với một hoặc nhiều số hạng, bao gồm các đạo hàm của biến phụ thuộc đối với một hoặc nhiều biến độc lập được gọi là phương trình vi phân tuyến tính.

Ví dụ về một phương trình vi phân tuyến tính là gì?

Ví dụ về phương trình vi phân tuyến tính là:
xdy / dx + 2y = x 2
dx / dy – x / y = 2y
dy / dx + ycot x = 2x 2

Cách giải phương trình vi phân bậc nhất?

Đầu tiên hãy viết phương trình dưới dạng dy / dx + Py = Q, trong đó P và Q là hằng số của x chỉ
Tìm hệ số tích phân, IF = e ∫Pdx
Bây giờ hãy viết nghiệm dưới dạng y (IF) = ∫Q × NẾU C

Sự khác biệt giữa phương trình tuyến tính và phi tuyến tính là gì?

Phương trình tuyến tính sẽ luôn tồn tại với mọi giá trị của x và y nhưng phương trình phi tuyến có thể có hoặc không có nghiệm với mọi giá trị của x và y.

Sự khác biệt giữa phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến là gì?

Một phương trình vi phân tuyến tính được xác định bởi một phương trình tuyến tính với các biến chưa biết và các đạo hàm của chúng.
Một phương trình vi phân phi tuyến không tuyến tính trong các biến chưa biết và các đạo hàm của chúng.
0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x