Phân phối Poisson là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Định nghĩa phân phối Poisson

Phân phối Poisson là một hàm xác suất rời rạc có nghĩa là biến chỉ có thể nhận các giá trị cụ thể trong một danh sách các số nhất định, có thể là vô hạn. Phân phối Poisson đo lường số lần một sự kiện có khả năng xảy ra trong khoảng thời gian “x”. Nói cách khác, chúng ta có thể định nghĩa nó là phân phối xác suất là kết quả của thí nghiệm Poisson. Thử nghiệm Poisson là một thử nghiệm thống kê phân loại thử nghiệm thành hai loại, chẳng hạn như thành công hoặc thất bại. Phân phối Poisson là một quá trình giới hạn của phân phối nhị thức.

Biến ngẫu nhiên Poisson “x” xác định số lần thành công trong thử nghiệm. Sự phân phối này xảy ra khi có những sự kiện không xảy ra như là kết quả của một số kết quả nhất định. Phân phối Poisson được sử dụng trong những điều kiện nhất định. Họ đang:

• Số lần thử nghiệm “n” có xu hướng vô hạn
• Xác suất thành công “p” có xu hướng bằng không
• np = 1 là hữu hạn

Công thức phân phối Poisson

Công thức cho hàm phân phối Poisson được đưa ra bởi:

f (x) = (e ^{– λ} λ ^x ) / x!

Ở đâu,

e là cơ số của lôgarit

x là một biến ngẫu nhiên Poisson

λ là một tỷ lệ giá trị trung bình

Bảng phân phối Poisson

Như với phân phối nhị thức, có một bảng mà chúng ta có thể sử dụng trong những điều kiện nhất định sẽ giúp việc tính toán xác suất dễ dàng hơn một chút khi sử dụng Phân phối Poisson. Bảng đang hiển thị các giá trị của f (x) = P (X ≥ x), trong đó X có phân phối Poisson với tham số λ. Tham khảo các giá trị từ bảng và thay thế nó trong công thức phân phối Poisson để nhận giá trị xác suất. Bảng hiển thị các giá trị của phân phối Poisson.

Poisson phân phối trung bình và phương sai

Giả sử rằng, chúng tôi tiến hành một thí nghiệm Poisson, trong đó số lần thành công trung bình trong một phạm vi nhất định được lấy là λ. Trong phân phối Poisson, giá trị trung bình của phân phối được biểu thị bằng λ và e là hằng số, xấp xỉ bằng 2,71828. Khi đó, xác suất Poisson là:

P (x, λ) = (e ^{– λ} λ ^x ) / x!

Trong phân phối Poisson, giá trị trung bình được biểu diễn là E (X) = λ.

Đối với Phân phối Poisson, giá trị trung bình và phương sai bằng nhau. Có nghĩa là E (X) = V (X)

Ở đâu,

V (X) là phương sai.

Phân phối Poisson Giá trị mong đợi

Một biến ngẫu nhiên được cho là có phân phối Poisson với tham số λ, trong đó “λ” được coi là giá trị kỳ vọng của phân phối Poisson.

Giá trị kỳ vọng của phân phối Poisson được đưa ra như sau:

E (x) = μ = d (e ^{λ (t-1)} ) / dt, tại t = 1.

E (x) = λ

Do đó, giá trị kỳ vọng (trung bình) và phương sai của phân phối Poisson bằng λ.

Ví dụ về phân phối Poisson

Dưới đây là một ví dụ để tìm xác suất bằng cách sử dụng phân phối Poisson:

Ví dụ 1:

Một biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số  λ sao cho P (X = 1) = (0,2) P (X = 2). Tìm P (X = 0).

Giải pháp:

Đối với phân phối Poisson, hàm xác suất được định nghĩa là:

P (X = x) = (e ^{– λ} λ ^x ) / x !, trong đó λ là một tham số.

Cho rằng, P (x = 1) = (0,2) P (X = 2)

(e ^{– λ} λ ¹ ) / 1! = (0,2) (e ^{– λ} λ ² ) / 2!

⇒l = l ² /10

⇒λ = 10

Bây giờ, thay λ = 10 vào công thức, chúng ta nhận được:

P (X = 0) = (e ^{– λ} λ ⁰ ) / 0!

P (X = 0) = e ^-10 = 0,0000454

Như vậy, P (X = 0) = 0,0000454

Ví dụ 2 :

Các cuộc gọi điện thoại đến một tổng đài theo quy trình Poisson với tốc độ λ = 2 / phút. Tính xác suất để trong 5 phút đầu giờ nhận được đúng hai cuộc gọi.

Giải pháp:

Giả sử rằng “N” là số cuộc gọi nhận được trong khoảng thời gian 1 phút.

Vì thế,

P (N = 2) = (e ^-2 . 2 ² ) / 2!

P (N = 2) = 2e ^-2 .

Bây giờ, “M” là số phút trong số 5 phút được xem xét, trong đó có chính xác 2 cuộc gọi sẽ được nhận. Do đó “M” tuân theo phân phối nhị thức với các tham số n = 5 và p = 2e ^-2 .

P (M = 5) = 32 xe ^-10

P (M = 5) = 0,00145, trong đó “e” là hằng số, xấp xỉ bằng 2,718.