Contents
Công thức dạng cực của số phức
Ta coi (x, y) là tọa độ của số phức x + iy. Do đó, nó có thể được biểu diễn trong một mặt phẳng Cartesian, như được đưa ra dưới đây:
Ở đây, trục hoành biểu thị trục thực và trục tung biểu thị trục ảo. Các thành phần thực và phức của tọa độ được tìm thấy theo r và θ trong đó r là độ dài của vectơ, và θ là góc tạo với trục thực.
Sử dụng Định lý Pitago, chúng ta có thể viết;
r 2 = x 2 + y 2
Từ các tỉ số lượng giác, chúng ta biết rằng;
Cos θ = Cạnh kề của góc θ / Hypotenuse
Cos θ = x / r
Ngoài ra, sin θ = Cạnh đối diện của góc θ / Hypotenuse
Sin θ = y / r
Nhân mỗi bên với r:
rcosθ = x và rsinθ = y
Dạng hình chữ nhật của một số phức được ký hiệu là:
z = x + iy
Thay thế các giá trị của x và y.
z = x + iy
= r (cosθ + i rsinθ)
Trong trường hợp là một số phức, r biểu thị giá trị tuyệt đối hoặc môđun và góc θ được gọi là đối số của số phức.
Phương trình dạng cực
Phương trình dạng cực của số phức z = x + iy là:
z = r (cosθ + isinθ)
Ở đâu
r = | z | = √ (x 2 + y 2 )
x = r cosθ
y = r sinθ
θ = tan -1 (y / x) với x> 0
θ = tan -1 (y / x) + π hoặc
θ = tan -1 (y / x) + 180 ° với x <0.
Chuyển dạng hình chữ nhật thành dạng cực
Chúng ta hãy xem một số ví dụ về chuyển dạng chữ nhật của số phức thành dạng cực.
Ví dụ: Tìm dạng cực của số phức 7-5i.
Lời giải: 7-5i là dạng hình chữ nhật của một số phức.
Để chuyển đổi thành môđun dạng cực và đối số của số phức đã cho, tức là r và θ.
Chúng ta biết, môđun hoặc giá trị tuyệt đối của số phức được cho bởi:
r = | z | = √x 2 + y 2
r = √ (7 2 + (- 5) 2
r = √49 + 25
r = √74
r = 8,6
Để tìm đối số của một số phức, trước tiên chúng ta cần kiểm tra điều kiện, chẳng hạn như:
Ở đây x> 0, do đó, chúng tôi sẽ sử dụng công thức,
θ = tan -1 (b / a) = θ = tan -1 (5/7) = 35,54 °
Vì 7−5i nằm trong góc phần tư thứ tư nên
θ = 360 ° −35,54 ° = 324,46 °
Do đó, dạng cực của 7-5i được biểu diễn bằng:
7−5i = 8,6 (cos 324,5 ° + i sin 324,5 °)
Thêm số phức ở dạng cực
Giả sử chúng ta có hai số phức, một ở dạng hình chữ nhật và một ở dạng cực. Bây giờ, chúng ta cần thêm hai số này và biểu diễn ở dạng cực một lần nữa.
Gọi 3 + 5i và 7∠50 ° là hai số phức.
Đầu tiên, chúng ta sẽ chuyển đổi 7∠50 ° thành dạng hình chữ nhật.
7∠50 ° = x + iy
Vì thế,
x = 7 cos 50 ° = 4,5
y = 7 sin 50 ° = 5,36
Vì thế,
7∠50 ° = 4,5 + i 5,36
Do đó, nếu cộng hai số phức đã cho, ta được;
(3 + i5) + (4,5 + i 5,36) = 7,5 + i10,36
Một lần nữa, để chuyển đổi số phức thu được ở dạng cực, chúng ta cần tìm môđun và đối số của số đó. Vì thế,
Môđun bằng;
r = | z | = √ (x 2 + y 2 )
r = √ (7,5 2 +10,36 2 )
r = 12,79
Và đối số là bằng;
θ = tan -1 (y / x)
θ = tan -1 (10,36 / 7,5)
θ = 54,1 °
Do đó, số phức được yêu cầu là 12,79∠54,1 °.
Xem thêm:
