Nếu lấy O làm gốc tham chiếu và A là một điểm tùy ý trong không gian thì vectơ [latex] \ vec {OA} [/ latex] được gọi là vectơ vị trí của điểm.
Vectơ vị trí chỉ đơn giản biểu thị vị trí hoặc vị trí của một điểm trong hệ Descartes ba chiều liên quan đến điểm gốc tham chiếu.
Hướng cosin và Góc giữa hai đường
Chúng ta hãy xem xét một điểm P nằm trong không gian và nếu vectơ vị trí của nó tạo các góc dương (ngược chiều kim đồng hồ) của α, β và the với trục x, y và z dương tương ứng, thì các góc này được gọi là góc định hướng và lấy cosin của các góc này, chúng ta nhận được cosin hướng. Tính cosin có hướng giúp dễ dàng biểu diễn hướng của vectơ dưới dạng góc đối với tham chiếu.
Tọa độ của điểm P cũng có thể được biểu thị dưới dạng tích của độ lớn của vectơ đã cho và cosin có hướng trên ba trục, tức là
[mủ] x = l | \ vec {r} | [/mủ cao su]
[latex] y = m | \ vec {r} | [/mủ cao su]
[latex] z = n | \ vec {r} | [/mủ cao su]
Trong đó l, m, n lần lượt biểu diễn cosin chỉ phương của vectơ đã cho trên các trục x, y, z. Chúng ta có thể thấy rõ rằng lr, mr, nr tỷ lệ với các cosin hướng và chúng được gọi là các tỷ số hướng và chúng được ký hiệu là a, b, c.
Gọi L 1 và L 2 biểu diễn hai đường thẳng có tỉ số hướng lần lượt là a 1 , b 1 , c 1 và a 2 , b 2 , c 2 sao cho chúng đi qua gốc tọa độ. Chúng ta hãy chọn một điểm ngẫu nhiên An trên đường thẳng L 1 và điểm B trên đường thẳng L 2 . Xét các đường thẳng có hướng OA và OB như hình vẽ bên, cho góc giữa các đường thẳng này là θ.
Sử dụng khái niệm cosin hướng và tỉ số hướng, góc θ giữa L 1 và L 2 được cho bởi:
Về mặt sin θ = [latex] \ sqrt {(1 – cos ^ 2 θ)} [/ latex]
Vì thế,
Các trường hợp đặc biệt
- Nếu L 1 và L 2 có tỉ số hướng là a 1 , b 1 , c 1 và a 2 , b 2 , c 2 lần lượt vuông góc với nhau thì θ = 90 0 . Do đó, a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = 0
- Nếu L 1 và L 2 có tỉ số hướng lần lượt là a 1 , b 1 , c 1 và a 2 , b 2 , c 2 song song với nhau thì θ = 0 0 . Do đó, [latex] \ frac {a_1} {a_2} [/ latex] = [latex] \ frac {b_1} {b_2} [/ latex] = [latex] \ frac {c_1} {c_2} [/ latex]
Làm thế nào để tìm Cosine hướng?
Côsin hướng của vectơ có thể được xác định bằng cách chia tọa độ tương ứng của một vectơ cho độ dài vectơ. Tọa độ vectơ đơn vị bằng cosin chỉ phương. Một tính chất như vậy của cosin hướng là việc cộng các bình phương của cosin hướng tương đương với một.
Xem thêm:
