Để hiểu quan hệ là gì, trước tiên chúng ta nên hiểu tích Đề-các là gì. Một sản phẩm Descartes của hai bộ A và B là một tập hợp của tất cả các cặp có thứ tự (a, b) sao cho a ∈ A và b ∈ B. Một quan hệ là một tập hợp con của tích Descartes. Về cơ bản, quan hệ là một quy tắc “liên hệ” một phần tử từ một tập hợp này với một phần tử từ một tập hợp khác.
Định nghĩa: Nếu có hai tập A và B khác rỗng, một quan hệ R được xác định là một tập con của tích Descartes A × B. Tập hợp con này là kết quả của “mối quan hệ” được xác định giữa các phần tử của tập hợp thứ nhất và tập hợp thứ hai.
R = {(x, y): x ∈ A và y ∈ B}
Hình 1: Mối quan hệ
Trong hình 1, có một mối quan hệ từ tập A đến B. Tất cả các chấm tròn đều “liên quan” đến các chấm vuông có chữ R. Một quan hệ có thể có các cặp thứ tự hữu hạn hoặc vô hạn. Nếu chúng ta lấy một quan hệ từ tập A đến A, nó thường được gọi là ‘quan hệ trên A’. Số quan hệ tối đa có thể được xác định từ tập A (có m phần tử) đến B (có n phần tử) bằng [latex] 2 ^ {mn} [/ latex] ..
Miền và Phạm vi của Mối quan hệ:
Bây giờ, rõ ràng rằng mối quan hệ giống như một sản phẩm Descartes sẽ có các cặp có thứ tự. Trong các cặp có thứ tự này, phần tử thứ hai được gọi là hình ảnh của phần tử đầu tiên và phần tử đầu tiên được gọi là hình ảnh của phần tử thứ hai.
Điều này có nghĩa là trong số hai bộ, một bộ sẽ có tất cả các hình ảnh trước và bộ kia sẽ có tất cả các hình ảnh. Tập hợp chứa tất cả các phần tử đầu tiên của tất cả các cặp có thứ tự của quan hệ R được gọi là miền của quan hệ. Tập miền có thể bằng hoặc không bằng tập A như trong hình 1. Mặt khác, tập chứa tất cả các phần tử thứ hai được gọi là phạm vi của quan hệ. Bây giờ, đây là một lợi ích. Tập thứ hai B có thể bằng phạm vi của quan hệ hoặc nó có thể lớn hơn thế. Điều này là do có thể có các phần tử trong B không liên quan đến bất kỳ phần tử nào trong tập A. Đó là lý do tại sao toàn bộ tập B được gọi bằng một cái tên khác, tức là
Codomain của mối quan hệ. Rõ ràng là
Phạm vi ⊆ Codomain
Các mối quan hệ cũng có thể được biểu diễn theo cách mà chúng ta biểu diễn các tập hợp, tức là phương pháp Roster hoặc phương thức Bộ xây dựng . Một cách biểu diễn khác dễ hiểu hơn (trực quan) được đưa ra bằng cách sử dụng các sơ đồ mũi tên (Hình 1).
Ví dụ: Hãy xác định một tập N = {9,10,11,12,13}. Bây giờ, chúng ta hãy xác định một quan hệ A từ N đến N sao cho trong cặp thứ tự (x, y) trong A, y nhiều hơn x hai. Điều này có thể được biểu diễn theo ba cách khác nhau:
- Phương pháp tạo tập hợp: A = {(x, y): y = x + 2, x, y ∈ N}
- Phương pháp phân công: A = {(9,11), (10,12), (11,13)}
- Sơ đồ mũi tên:
Hình 2: Sơ đồ mũi tên cho
Bây giờ, miền của A không phải là N. Nó bằng {9,10,11}. Điều này là do, đối với các giá trị khác từ N, đầu ra không nằm trong tập N. Ngoài ra, miền của A là N. Nhưng phạm vi của A là {11,12,13}, đó là tập con của miền .
Xem thêm:
