Định nghĩa góc nhị diện

Trong hình học ba chiều , hai mặt phẳng có thể trực tiếp hoặc gián tiếp (bằng cách mở rộng) cắt nhau. Góc tạo thành giữa giao tuyến của hai mặt phẳng khác nhau gọi là góc nhị diện. Nói cách khác, chúng ta có thể nói rằng góc trong giữa hai mặt phẳng được gọi là góc nhị diện.

Từ hình vẽ trên ta thấy, hai mặt phẳng A và B cắt nhau có góc nghiêng là θ.

Những điểm cần nhớ:

• Như chúng ta có thể thấy rằng thường có hai góc được tạo thành giữa hai mặt phẳng – một góc nhọn và một góc khác là góc tù. Nói chung, góc nhị diện là góc nhọn giữa hai mặt phẳng. Góc tù có thể được tìm thấy bằng cách lấy góc nhọn trừ đi 180 °.
• Thay vì hai mặt phẳng giao nhau, đôi khi chúng song song với nhau. Trong trường hợp này, góc nhị diện giữa hai mặt phẳng bằng không. Do đó, để chứng minh rằng hai mặt phẳng song song, việc tính toán góc nhị diện có thể rất hữu ích.
• Góc nhị diện cũng có thể được gọi là góc bên trong tạo bởi hai mặt phẳng trong bất kỳ hình dạng ba chiều nào, chẳng hạn như hình đa diện. Trong sơ đồ, dưới đây β đại diện cho góc nhị diện giữa hai mặt của một tứ diện.

Công thức góc nhị diện

Góc nhị diện là góc giữa vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng. Chúng ta hãy nhớ lại rằng vectơ pháp tuyến được định nghĩa là một vectơ vuông góc hoặc pháp tuyến hoặc vuông góc với mặt phẳng đã cho. Giả sử rằng một mặt phẳng được biểu thị bằng phương trình:

px + qy + rz + s = 0 và vectơ pháp tuyến của nó được biểu diễn bằng , sau đón⃗ 

= (p, q, r)n⃗ 

Giả sử rằng phương trình của hai mặt phẳng đã cho là:

p ₁ x + q ₁ y + r ₁ z + s ₁ = 0 và p ₂ x + q ₂ y + r ₂ z + s ₂ = 0

Gọi vectơ pháp tuyến tương ứng với các mặt phẳng này lần lượt là và \ vec {n_ {2}} . Sau đó:n1→n2→

= (p ₁ , q ₁ , r ₁ ) và \ vec {n_ {2}} = (p ₂ , q ₂ , r ₂ )n1→n2→

Nếu góc nhọn giữa các mặt phẳng này là θ, thì công thức của α sẽ được đưa ra như sau:

c o s θ =n1→.n2→n1→n2→

Nó cũng có thể được viết là:

c o s θ =|p1p2+q1q2+r1r2|p21+q21+r21√p22+q22+r22√

Làm thế nào để tính toán góc nhị diện?

Để tính giá trị của góc nhị diện, hãy làm theo các bước sau:

Bước 1: Xác định phương trình của mặt phẳng và sắp xếp lại các số hạng theo dạng sau: px + qy + rz + s = 0.

Bước 2: Bây giờ, viết véc tơ pháp tuyến cho mỗi mặt phẳng đã cho, tức là (p, q, r).

Bước 3: Ghi các giá trị trên vào công thức của góc nhị diện là:

c o s θ =|p1p2+q1q2+r1r2|p21+q21+r21√p22+q22+r22√Bước 4: Giải và tính giá trị của θ.

Ví dụ về góc nhị diện

Câu hỏi: Tính góc giữa hai mặt phẳng: x + 4y + z = 0 và 3 x + y + 4z = 0

Giải pháp:

Cho hai mặt phẳng: x + 4y + z = 0 và 3 x + y + 4z = 0

So sánh phương trình mặt phẳng đã cho với dạng chuẩn:

p ₁ x + q ₁ y + r ₁ z + s ₁ = 0 và p ₂ x + q ₂ y + r ₂ z + s ₂ = 0

Vì vậy, chúng tôi nhận được:

p ₁ = 1, q ₁ = 4, r ₁ = 1

p ₂ = 3, q ₂ = 1, r ₂ = 4

Công thức tìm góc nhị diện là

c o s θ =|p1p2+q1q2+r1r2|p21+q21+r21√p22+q22+r22√

c o s θ =| 1,3+4,1+1,4 |1 + 16 + 1√9 + 1 + 16√

c o s θ =| 11 |18√26√

c o s θ =| 11 |468√= 0,5085

Xem thêm:

• Ma trận nghịch đảo là gì? xem xong 5 phút hiểu luôn
• Biến đổi Laplace ngược là gì? xem xong 5 phút hiểu luôn
• Tam giác cân, Tam giác đều, Tam giác Scalene là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.