Jacobian là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Jacobian là gì?

Thuật ngữ “Jacobian” thường đại diện cho cả ma trận jacobian và các định thức, được định nghĩa cho số lượng hữu hạn hàm với cùng một số biến. Ở đây, mỗi hàng bao gồm đạo hàm riêng đầu tiên của cùng một hàm, đối với các biến. Ma trận jacobian có thể ở bất kỳ dạng nào. Nó có thể là ma trận vuông (số hàng và số cột bằng nhau) hoặc ma trận hình chữ nhật (số hàng và số cột không bằng nhau).

Ma trận Jacobian

Đối với hàm f: ℝ ³ → ℝ, đạo hàm tại p đối với vectơ hàng được xác định là:

(∂( f)∂x1( P) ,∂( f)∂x2( P) , … .∂( f)∂xn( P) )Ma trận jacobian cho ma trận đã cho được cho dưới dạng:

⎡⎣⎢⎢⎢⎢∂f1∂x1∂f2∂x1∂f3∂x1∂f1∂x2∂f2∂x2∂f3∂x2⋯⋯⋯∂f1∂xm∂f2∂xm∂f3∂xm⎤⎦⎥⎥⎥⎥Định thức cho ma trận jacobian ở trên được gọi là jacobian.

Định thức Jacobian

Trong ma trận jacobian, nếu m = n = 2 và hàm f: ℝ ³ → ℝ, được xác định là:

Hàm, f (x, y) = (u (x, y), v (x, y))

Do đó, ma trận jacobian được viết là:

J=⎡⎣∂u∂x∂v∂x∂u∂Y∂v∂Y⎤⎦Do đó, yếu tố quyết định của ma trận jacobian là

de t ( J) =∣∣∣∣∂u∂x∂v∂x∂u∂Y∂v∂Y∣∣∣∣

de t ( J) =∣∣∂u∂x∂v∂Y–∂u∂Y∂v∂x∣∣

Biến đổi Descartes Cực và Hình cầu

Đối với phép biến đổi cacte thông thường sang cực, phương trình có thể được viết dưới dạng:

x = r cos θ

y = r sin θ

Định thức jacobian được viết là:

J( r , θ ) =∣∣∣∣∂x∂r∂Y∂r∂x∂θ∂Y∂θ∣∣∣∣Sử dụng sự khác biệt từng phần này trên các phương trình cực, chúng ta nhận được,

J( r , θ ) =∣∣∣c o s θs tôi n θ– r s i n θr c o s θ∣∣∣J (r, θ) = r (sin ² θ + cos ² θ) = r (1)

J (r, θ) = 1

Ví dụ về Jacobian

Câu hỏi: Cho x (u, v) = u ² – v ² , y (u, v) = 2 uv. Tìm jacobian J (u, v).

Giải pháp:

Cho: x (u, v) = u ² – v ²

y (u, v) = 2 uv

Chúng ta biết rằng,

J( u , v ) = [xuYuxvYv] J( u , v ) = [2 u2 v– 2 v2 u]) (У, в) = 4у ² + 4в ²

Do đó, J (u, v) là 4u ² + 4v ²

• Các số liệu tương tự là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.
• Phần Công Thức Trong Đại Số Vectơ là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.
• Lãi suất đơn giản là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.