Mối quan hệ đường thẳng và góc song song là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

• Góc tương ứng
• Các góc nội thất thay thế
• Các góc bên ngoài thay thế
• Các góc đối diện theo phương thẳng đứng
• Cặp tuyến tính

Nếu hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm, trong một mặt phẳng, chúng được gọi là các đường thẳng cắt nhau. Nếu chúng gặp nhau ở góc 90o thì chúng được gọi là đường thẳng vuông góc.

Biến thể nghịch đảo 

Định nghĩa

Hai đường thẳng được cho là song song khi chúng không gặp nhau tại bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng. Các đường không có giao điểm chung và không bao giờ giao nhau thì song song với nhau. Ký hiệu để hiển thị các đường thẳng song song là ‘||’.

Hai đường thẳng song song được biểu diễn dưới dạng A B←→||CD←→, có nghĩa là dòng A B←→ song song với CD←→.Khoảng cách vuông góc giữa hai đường thẳng song song luôn không đổi.

Trong hình bên trên, đoạn thẳng PQ¯¯¯¯¯¯¯¯ và R S¯¯¯¯¯¯¯biểu diễn hai đường thẳng song song vì chúng không có giao điểm chung trong mặt phẳng đã cho. Các đường thẳng song song vô hạn có thể được vẽ song song vớiPQ←→ và R S←→ trong mặt phẳng đã cho.

Các cặp góc

Các đường có thể song song hoặc cắt nhau. Khi hai đường thẳng gặp nhau tại một điểm trong mặt phẳng, chúng được gọi là các đường thẳng cắt nhau. Nếu một đường cắt hai hoặc nhiều đường tại các điểm phân biệt thì nó được gọi là đường cắt ngang .

Trong hình 2, đường thẳng l cắt đường thẳng a và b lần lượt tại các điểm P và Q. Dòng l là đường ngang ở đây.

∠1, ∠2, ∠7 và ∠8 là các góc bên ngoài và ∠3, ∠4, ∠5 và ∠6 biểu thị các góc bên trong.
Các cặp góc được tạo thành do giao nhau bởi một đường ngang được đặt tên như sau:

1. Góc tương ứng: ∠1 và ∠6; ∠4 và ∠8; ∠2 và ∠5; ∠3 và ∠7 là cặp góc tương ứng.
2. Góc nội công thay thế: ∠4 và ∠5; ∠3 và ∠6 biểu thị cặp góc bên trong thay thế.
3. Góc ngoại thất thay thế: ∠1 và ∠7; ∠2 và ∠8 là các góc bên ngoài thay thế.
4. Góc nội thất cùng phía: ∠3 và ∠5; ∠4 và ∠6 biểu thị các góc bên trong ở cùng một phía của góc ngang hoặc bên trong hoặc góc bên trong liên tiếp.

Nếu các đường thẳng a và b song song với nhau như hình vẽ bên thì tiên đề sau đây cho các cặp góc của các đường thẳng này.

Thuộc tính của đường song song

Như chúng ta đã học, nếu hai đường thẳng song song, chúng không cắt nhau, trên một mặt phẳng chung. Bây giờ nếu một đường ngang cắt hai đường thẳng song song tại hai điểm phân biệt, thì tại mỗi điểm sẽ có bốn góc tạo thành. Do đó, dưới đây là các tính chất của đường thẳng song song đối với phép cắt ngang.

• Các góc tương ứng bằng nhau.
• Các góc đối diện / Các góc đối diện theo phương thẳng đứng thì bằng nhau.
• Các góc nội tiếp xen kẽ bằng nhau.
• Các góc ngoại tiếp xen kẽ bằng nhau.
• Cặp góc nội thất ở cùng một bên của ngang là bổ sung.

Tiên đề và định lý về đường song song

Xem qua các tiên đề và định lý sau cho các đường thẳng song song.

Tiên đề góc tương ứng

Nếu hai đường thẳng song song cắt nhau bằng một hoành độ thì cặp góc tương ứng bằng nhau.

Từ Hình 3: ∠1 = ∠6, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠5 và ∠3 = ∠7

Điều ngược lại của tiên đề này cũng đúng theo đó nếu một cặp góc tương ứng bằng nhau thì các đường thẳng đã cho song song với nhau.

Định lý 1

Nếu hai đường thẳng song song cắt nhau bằng một hoành độ thì cặp góc trong cùng của góc bằng nhau.

Từ Hình 3: ∠4 = ∠5 và ∠3 = ∠6

Chứng minh: As, ∠4 = ∠2 và ∠1 = ∠3 (Góc đối diện theo phương thẳng đứng)

Ngoài ra, ∠2 = ∠5 và ∠1 = ∠6 (Góc tương ứng)

⇒∠4 = ∠5 và ∠3 = ∠6

Điều ngược lại của định lý trên cũng đúng khi phát biểu rằng nếu cặp góc nội tiếp thay thế bằng nhau thì các đường thẳng đã cho song song với nhau.

Định lý 2

Nếu hai đường thẳng song song được cắt nhau bởi một đường ngang thì cặp góc trong ở cùng một phía của đường ngang là bổ sung.

∠3 + ∠5 = 180 ° và ∠4 + ∠6 = 180 °

Như ∠4 = ∠5 và ∠3 = ∠6 (Góc nội thất thay thế)

∠3 + ∠4 = 180 ° và ∠5 + ∠6 = 180 ° (Tiên đề cặp tuyến tính)

⇒∠3 + ∠5 = 180 ° và ∠4 + ∠6 = 180 °

Điều ngược lại của định lý trên cũng đúng khi phát biểu rằng nếu cặp góc đồng nội tiếp nhau thì các đường thẳng đã cho song song với nhau.

Ứng dụng của các đường song song trong cuộc sống thực

Người ta cũng có thể nhìn thấy các đường thẳng song song với nhau trong đời thực nếu chỉ cần người đó có đủ kiên nhẫn và tinh ý để làm như vậy. Ví dụ, đi đường sắt. Đường ray xe lửa là những đường thẳng song song. Hai đường hoặc đường ray được dùng để cho các bánh xe lửa di chuyển. Sự khác biệt giữa các đường song song do các nhà toán học tưởng tượng và những người thực sự tạo ra đường ray xe lửa là các nhà toán học có quyền tưởng tượng các đường song song trên các mặt phẳng và giấy, trong khi các đoàn tàu di chuyển trên mọi loại địa hình, từ đồi, dốc và núi. đến những cây cầu.

Theo các nhà toán học khi hai đường thẳng song song được vẽ trên đồ thị, chúng phải luôn ở cùng một góc, có nghĩa là chúng sẽ có cùng độ dốc hoặc cùng độ dốc.

Các ví dụ đã giải quyết

Q.1: Trong hình đã cho, p || q và l là một phép ngang. Tìm giá trị của x và y.

Lời giải: Vì, 6x + y và x + 5y là các góc tương ứng.

6 x + y = x + 5 y

6 x – x = 5 y – y

5 x = 4 y

x = 4y / 5

Bây giờ, 4x và 6x + y là cặp góc tuyến tính, vì vậy,

4 x + 6 x + y = 180 °

10x + y = 180 °

40y / 5 + y = 180 °

45y / 5 = 180 °

45y = 180 × 5 = 900 °

y = 20

x = (4 × 20) / 5 = 16

Do đó, x = 16 và y = 20

Q.2: Trong hình, AB và CD là các đường thẳng song song cắt nhau bởi PQ chéo nhau lần lượt tại L và M, Nếu ∠CMQ = 60, hãy tìm tất cả các góc khác trong hình.

Giải pháp:

∠ALM = ∠CMQ = 60 ° [góc tương ứng]

∠LMD = ∠CMQ = 60 ° [Góc đối diện theo phương thẳng đứng]

∠ALM = ∠PLB = 60   [ Các góc đối diện theo phương thẳng đứng]

Ở đây, ∠CMQ + ∠QMD = 180 ° là cặp tuyến tính

∠QMD = 180 ° – 60 ° = 120 °

Hiện nay,

∠QMD = ∠MLB = 120 ° [ Các góc tương ứng]

∠QMD = ∠CML = 120 °  [ Góc đối diện theo phương thẳng đứng]

∠MLB = ∠ALP = 120 ° [ Các góc đối diện theo chiều dọc]