Phương trình của một mặt phẳng trong không gian ba chiều
Nói chung, mặt phẳng có thể được xác định bằng bốn phương pháp khác nhau. Họ đang:
- Hai đường thẳng cắt nhau
- Một dòng và một điểm (không nằm trên một dòng)
- Ba điểm không thẳng hàng (Ba điểm không nằm trên đường thẳng)
- Hai đường thẳng song song và không trùng nhau
- Vectơ pháp tuyến và điểm
Có vô số mặt phẳng nằm vuông góc với một vectơ cụ thể. Nhưng chỉ có một mặt phẳng duy nhất tồn tại đến một điểm cụ thể vẫn vuông góc với điểm khi đi qua nó
Chúng ta hãy xem xét một mặt phẳng đi qua một điểm A cho trước có vectơ vị trí a⃗ và vuông góc với vectơ N⃗ . Chúng ta hãy xem xét một điểm P (x, y, z) nằm trên mặt phẳng này và vectơ vị trí của nó được cho bởi r⃗ như thể hiện trong hình bên dưới.
Vectơ vị trí chỉ đơn giản biểu thị vị trí hoặc vị trí của một điểm trong hệ Descartes ba chiều liên quan đến điểm gốc tham chiếu.
Để điểm P nằm trên mặt phẳng đã cho thì phải thỏa mãn điều kiện sau:
A P→ vuông góc với , tức là . = 0N⃗ A P→N⃗
Từ hình trên có thể thấy rằng,
A P→ = ( – )r⃗ a⃗
Thay giá trị này trong . = 0, chúng ta có ( – ). = 0A P→N⃗ r⃗ a⃗ N⃗
Phương trình này biểu diễn phương trình vectơ của một mặt phẳng.
Chúng ta sẽ giả sử rằng các điểm P, Q và R lần lượt được coi là x 1 , y 1 , z 1 và x 2 , y 2 , z 2 để biến đổi phương trình thành hệ Descartes. A, B và C sẽ là tỷ lệ hướng giả định. Vì vậy,
r⃗ = xTôi^+ yj^+ zk^
a⃗ =x1Tôi^+y1j^+z1k^
N⃗ = ATôi^+ Bj^+ Ck^
Thay các giá trị này vào phương trình vectơ của một mặt phẳng, chúng ta có
(r⃗ –a⃗ ) .N⃗ = 0
( ( xTôi^+ yj^+ zk^) – (x1Tôi^+y1j^+z1k^) ) . ATôi^+ Bj^+ Ck^= 0
[ ( x –x1)Tôi^+ ( y–y1)j^+ ( z–z1)k^] ( ATôi^+ Bj^+ Ck^) = 0
A ( x –x1) + B ( y–y1) + C( z–z1) = 0
Xem thêm:
