(d / dx) y = f (x, y)
Các phương trình vi phân thường được sử dụng để thể hiện một mối quan hệ giữa các chức năng và các dẫn xuất của nó. Trong Vật lý và hóa học, nó được sử dụng như một kỹ thuật để xác định các hàm trên miền của nó nếu chúng ta biết các hàm và một số đạo hàm.
Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất
Nếu hàm f là một biểu thức tuyến tính theo y thì phương trình vi phân cấp một y ‘= f (x, y) là một phương trình tuyến tính. Tức là, phương trình là tuyến tính và hàm f có dạng
f (x, y) = p (x) y + q (x)
Vì phương trình tuyến tính là y = mx + b
trong đó p và q là các hàm liên tục trên một khoảng I. Phương trình vi phân không tuyến tính được gọi là phương trình phi tuyến.
Xét phương trình vi phân bậc nhất y ‘= f (x, y), là một phương trình tuyến tính và nó có thể được viết dưới dạng
- y ‘+ a (x) y = f (x)
trong đó a (x) và f (x) là các hàm liên tục của x
Phương pháp thay thế để biểu diễn phương trình tuyến tính bậc nhất ở dạng rút gọn là
(dy / dx) + P (x) y = Q (x)
Trong đó P (x) và Q (x) là các hàm của x là các hàm liên tục. Nếu P (x) hoặc Q (x) bằng 0, phương trình vi phân được rút gọn về dạng có thể tách biến. Nó rất dễ giải khi các phương trình vi phân ở dạng có thể phân tách được.
Các loại phương trình vi phân bậc nhất
Về cơ bản có năm loại phương trình vi phân bậc nhất. Họ đang:
- Phương trình vi phân tuyến tính
- Phương trình thuần nhất
- Phương trình chính xác
- Phương trình tách biệt
- Yếu tố tích hợp
Giải pháp phương trình vi phân bậc nhất
Thông thường, có hai phương pháp được coi là để giải phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất.
- Sử dụng yếu tố tích hợp
- Phương pháp biến thiên của hằng số
Chúng ta hãy thảo luận từng phương pháp một để có được các nghiệm cho phương trình vi phân bậc nhất.
Yếu tố tích hợp
Nếu một phương trình vi phân tuyến tính được viết ở dạng chuẩn:
y ‘+ a (x) y = 0
Sau đó, hệ số tích phân được xác định bởi công thức
u (x) = exp (∫a (x) dx)
Nhân thừa số tích phân u (x) vào vế trái của phương trình biến vế trái thành đạo hàm của tích y (x) u (x).
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân được biểu diễn như sau:
Y = ∫ u ( x ) f ( x ) d x + C u ( x )
trong đó C là một hằng số tùy ý.
Phương pháp biến đổi của một hằng số
Phương pháp này tương tự như phương pháp nhân tử tích phân. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là bước cần thiết đầu tiên.
y ‘+ a (x) y = 0
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất luôn chứa một hằng số tích phân C. Ta có thể thay hằng số C bằng một hàm ẩn số C (x) nào đó. Khi thay nghiệm này vào phương trình vi phân không thuần nhất, chúng ta có thể xác định được hàm C (x). Cách tiếp cận này của thuật toán được gọi là phương pháp biến thiên của một hằng số. Tuy nhiên, cả hai phương pháp đều dẫn đến cùng một giải pháp.
Tính chất của phương trình vi phân bậc nhất
Phương trình vi phân cấp một tuyến tính có các tính chất sau.
- Nó không có bất kỳ hàm siêu việt nào như hàm lượng giác và hàm logarit.
- Các sản phẩm của y và bất kỳ dẫn xuất nào của nó không có mặt.
Các ứng dụng của phương trình vi phân bậc nhất
Một số ứng dụng sử dụng phương trình vi phân bậc nhất như sau:
- Định luật làm mát Newton
- Tăng trưởng và suy tàn
- Quỹ đạo trực giao
- Mạch điện
- Các vấn đề về cơ thể bị ngã
- Vấn đề pha loãng
Các vấn đề và giải pháp
Câu 1: Giải phương trình y′ − y − xe x = 0
Solution : Given, y′−y−xex = 0
Viết lại phương trình đã cho và phương trình trở thành,
y′−y = xex
Sử dụng hệ số tích phân, nó trở thành;
u ( x ) = e ∫ ( – 1 ) d x = e – ∫ d x = e – xDo đó, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính là
Y ( x ) = ∫ u ( x ) f ( x ) d x + C u ( x ) = ∫ e – x x e x d x + C e – x Y ( x ) = ∫ x d x + C e – x = e x ( x 2 2 + C ) .Câu 2: Giải phương trình vi phân y ‘+ 2xy = x.
Lời giải: Phương trình đã cho đã ở dạng chuẩn, y ‘+ P (x) y = Q (x)
Do đó, P (x) = 2x và Q (x) = x
Xem thêm:
