Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Phương trình vi phân bậc nhất là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18 năm 2021

Một phương trình vi phân bậc nhất được xác định bởi một phương trình:  dy / dx = f (x, y)  của hai biến x và y với hàm f của nó (x, y) xác định trên một khu vực trong xy-máy bay. Nó chỉ có đạo hàm bậc nhất dy / dx  để phương trình là bậc nhất và không tồn tại đạo hàm bậc cao. Phương trình vi phân bậc nhất cũng có thể được viết dưới dạng;y ‘= f (x, y) hoặc

(d / dx) y = f (x, y)

Các phương trình vi phân thường được sử dụng để thể hiện một mối quan hệ giữa các chức năng và các dẫn xuất của nó. Trong Vật lý và hóa học, nó được sử dụng như một kỹ thuật để xác định các hàm trên miền của nó nếu chúng ta biết các hàm và một số đạo hàm.

Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất

Nếu hàm f là một biểu thức tuyến tính theo y thì phương trình vi phân cấp một  y ‘= f (x, y) là một phương trình tuyến tính. Tức là, phương trình là tuyến tính và hàm f có dạng

f (x, y) = p (x) y + q (x)

Vì phương trình tuyến tính là y = mx + b

trong đó p và q là các hàm liên tục trên một khoảng I. Phương trình vi phân không tuyến tính được gọi là phương trình phi tuyến.

Xét phương trình vi phân bậc nhất y ‘= f (x, y),  là một phương trình tuyến tính và nó có thể được viết dưới dạng

  • y ‘+ a (x) y = f (x)

trong đó a (x) và f (x) là các hàm liên tục của x

Phương pháp thay thế để biểu diễn phương trình tuyến tính bậc nhất ở dạng rút gọn là

(dy / dx) + P (x) y = Q (x)

Trong đó P (x) và Q (x) là các hàm của x là các hàm liên tục. Nếu P (x) hoặc Q (x) bằng 0, phương trình vi phân được rút gọn về dạng có thể tách biến. Nó rất dễ giải khi các phương trình vi phân ở dạng có thể phân tách được.

Các loại phương trình vi phân bậc nhất

Về cơ bản có năm loại phương trình vi phân bậc nhất. Họ đang:

  1. Phương trình vi phân tuyến tính
  2. Phương trình thuần nhất
  3. Phương trình chính xác
  4. Phương trình tách biệt
  5. Yếu tố tích hợp

Giải pháp phương trình vi phân bậc nhất

Thông thường, có hai phương pháp được coi là để giải phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất.

  1. Sử dụng yếu tố tích hợp
  2. Phương pháp biến thiên của hằng số

Chúng ta hãy thảo luận từng phương pháp một để có được các nghiệm cho phương trình vi phân bậc nhất.

Yếu tố tích hợp

Nếu một phương trình vi phân tuyến tính được viết ở dạng chuẩn:

y ‘+ a (x) y = 0

Sau đó, hệ số tích phân được xác định bởi công thức

u (x) = exp (∫a (x) dx)

Nhân thừa số tích phân u (x) vào vế trái của phương trình biến vế trái thành đạo hàm của tích y (x) u (x).

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân được biểu diễn như sau:

Y = f d C )

trong đó C là một hằng số tùy ý.

Phương pháp biến đổi của một hằng số

Phương pháp này tương tự như phương pháp nhân tử tích phân. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là bước cần thiết đầu tiên.

y ‘+ a (x) y = 0

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất luôn chứa một hằng số tích phân C. Ta có thể thay hằng số C bằng một hàm ẩn số C (x) nào đó. Khi thay nghiệm này vào phương trình vi phân không thuần nhất, chúng ta có thể xác định được hàm C (x). Cách tiếp cận này của thuật toán được gọi là phương pháp biến thiên của một hằng số. Tuy nhiên, cả hai phương pháp đều dẫn đến cùng một giải pháp.

Tính chất của phương trình vi phân bậc nhất

Phương trình vi phân cấp một tuyến tính có các tính chất sau.

  • Nó không có bất kỳ hàm siêu việt nào như hàm lượng giác và hàm logarit.
  • Các sản phẩm của y và bất kỳ dẫn xuất nào của nó không có mặt.

Các ứng dụng của phương trình vi phân bậc nhất

Một số ứng dụng sử dụng phương trình vi phân bậc nhất như sau:

  • Định luật làm mát Newton
  • Tăng trưởng và suy tàn
  • Quỹ đạo trực giao
  • Mạch điện
  • Các vấn đề về cơ thể bị ngã
  • Vấn đề pha loãng

Các vấn đề và giải pháp

Câu 1: Giải phương trình y′ − y − xe x  = 0

Solution : Given, y′−y−xe= 0

Viết lại phương trình đã cho và phương trình trở thành,

y′−y xex

Sử dụng hệ số tích phân, nó trở thành;

= e –  d x = e –  d x = e –  xDo đó, nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính là

Y = f d C ) = e –  x x e x d C e –  x  Y = d C e –  x = e x ( x 2 2C ) .Câu 2: Giải phương trình vi phân y ‘+ 2xy = x.

Lời giải: Phương trình đã cho đã ở dạng chuẩn, y ‘+ P (x) y = Q (x)

Do đó, P (x) = 2x và Q (x) = x

Xem thêm: 

0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
https://tintuctuyensinh.vn/wp-content/uploads/2021/10/Autumn-Sale-Facebook-Event-Cover-Template-1.gif
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x