Contents
Định nghĩa quan hệ phản xạ
Về mối quan hệ và chức năng , mối quan hệ phản xạ là mối quan hệ trong đó mọi yếu tố ánh xạ với chính nó. Ví dụ, hãy xem xét một tập hợp A = {1, 2,}. Bây giờ, quan hệ phản xạ sẽ là R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)}. Do đó, một quan hệ là phản xạ nếu:
| (a, a) ∈ R ∀ a ∈ A |
Trong đó a là phần tử, A là tập hợp và R là quan hệ.
Các ví dụ về quan hệ phản xạ được cho trong bảng. Các câu lệnh bao gồm các quan hệ này thể hiện tính phản xạ.
| Tuyên bố | Biểu tượng |
| “Bằng với” (bình đẳng) | = |
| “Là một tập hợp con của” (tập hợp bao gồm) | ⊆ |
| “Chia” (chia hết) | ÷ hoặc / |
| “là lớn hơn hoặc bằng” | ≥ |
| “Nhỏ hơn hoặc bằng” | ≤ |
Đặc điểm quan hệ phản xạ
- Phản phản xạ: Nếu các phần tử của một tập hợp không liên quan đến chính nó, thì nó là không thể phản xạ hoặc phản phản xạ.
- Chuẩn phản xạ: Nếu mỗi phần tử liên quan đến một phần tử nào đó cũng liên quan đến chính nó, sao cho quan hệ ~ trên tập A được phát biểu chính thức: ∀ a, b ∈ A: a ~ b ⇒ (a ~ a ∧ b ~ b ).
- Đồng phản xạ: Một quan hệ ~ (tương tự với) là đồng phản xạ với mọi a và y trong tập A cho rằng nếu a ~ b thì a = b. Sự kết hợp giữa đồng phản xạ và quan hệ bắc cầu luôn có tính bắc cầu.
- Một quan hệ phản xạ trên một tập không rỗng A không thể là không linh hoạt, không đối xứng, cũng không phản bắc cầu.
Công thức quan hệ phản xạ
Số quan hệ phản xạ trên một tập hợp có ‘n’ số phần tử được cho bởi;
| N = 2 n (n-1) |
Giả sử, một quan hệ có các cặp có thứ tự (a, b). Ở đây phần tử ‘a’ có thể được chọn theo ‘n’ cách và tương tự cho phần tử ‘b’. Vì vậy, tập hợp các cặp có thứ tự bao gồm n 2 cặp.
Theo định nghĩa của quan hệ phản xạ, (a, a) phải được bao gồm trong các cặp có thứ tự này. Ngoài ra, sẽ có tổng số n cặp (a, a). Do đó, một số cặp có thứ tự ở đây sẽ là n 2 -n cặp. Do đó, tổng số quan hệ phản xạ ở đây là 2 n (n-1) .
Ví dụ về quan hệ phản xạ
Q.1: Một quan hệ R nằm trên tập A (tập hợp tất cả các số nguyên) được xác định bởi “x R y nếu và chỉ khi 2x + 3y chia hết cho 5”, với mọi x, y ∈ A. Kiểm tra xem R có phải là a quan hệ phản xạ trên A.
Lời giải: Ta xét x ∈ A.
Bây giờ 2x + 3x = 5x, chia hết cho 5.
Do đó, xRx giữ cho mọi ‘x’ trong A
Do đó, R là phản xạ.
Q.2: Một quan hệ R được xác định trên tập tất cả các số thực N bởi ‘a R b’ nếu và chỉ khi | ab | ≤ b, với a, b ∈ N. Chứng tỏ rằng R không phải là quan hệ phản xạ.
Lời giải: Quan hệ không phản xạ nếu a = -2 ∈ R
Nhưng | a – a | = 0 không nhỏ hơn -2 (= a).
Do đó, quan hệ R không có tính phản xạ.
Q.3: Một quan hệ R trên tập A theo “x R y nếu x – y chia hết cho 5” với x, y ∈ A. Kiểm tra xem R có phải là một quan hệ phản xạ trên tập A.
Giải: Ta xét x ∈ A.
Khi đó x – x chia hết cho 5.
Vì x R x giữ nguyên cho mọi x trong A
Do đó, R là phản xạ.
Q.4: Xét tập A trong đó quan hệ R được xác định bởi ‘x R y nếu và chỉ khi x + 3y chia hết cho 4, với x, y ∈ A. Chứng tỏ R là quan hệ phản xạ trên tập A.
Lời giải: Ta xét x ∈ A.
Vậy x + 3x = 4x chia hết cho 4.
Vì x R x đồng biến với mọi x trong A.
Do đó, R là phản xạ.
Xem thêm:
| Biểu diễn các con số ở dạng chung là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn. |
| Biểu diễn của một chức năng là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn. |
| Tần số tương đối là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn. |
