• Nó đi qua một điểm cụ thể theo một hướng cụ thể, hoặc
• Nó đi qua hai điểm duy nhất

Chúng ta hãy nghiên cứu từng trường hợp riêng biệt và cố gắng xác định phương trình của một đường trong cả hai trường hợp đã cho.

Phương trình của một đường thẳng đi qua một điểm và song song với một vectơ

Chúng ta hãy coi rằng vectơ vị trí của điểm đã cho là  a⃗  đối với nguồn gốc. Đường thẳng đi qua điểm A bằng l và nó song song với vectơk⃗ như hình bên dưới. Chúng ta hãy chọn một điểm ngẫu nhiên bất kỳ R trên đường thẳng l và vectơ vị trí của nó đối với gốc tọa độ của hệ tọa độ hình chữ nhật được cho bởir⃗ .

Kể từ đoạn thẳng, A R¯¯¯¯¯¯¯¯ song song với vectơ  k⃗ , do đó với bất kỳ số thực α nào,

A R¯¯¯¯¯¯¯¯ = α k⃗ 

Cũng thế, A R¯¯¯¯¯¯¯¯=O R¯¯¯¯¯¯¯¯ – O A¯¯¯¯¯¯¯¯

Do đó, α r⃗  = r⃗  – a⃗ 

Từ phương trình trên có thể thấy rằng với các giá trị khác nhau của α, phương trình trên cho vị trí của một điểm R bất kỳ nằm trên đường thẳng đi qua điểm A và song song với vectơ k. Do đó, phương trình vectơ của một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và song song với một vectơ đã cho là:

r⃗  = a⃗  + αk⃗ 

Nếu tọa độ ba chiều của điểm ‘A’ được cho là (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) và cosin phương của điểm này được cho là a, b, c thì coi tọa độ hình chữ nhật của điểm R là (x, y, z):

Thay các giá trị này vào phương trình vectơ của một đường thẳng đi qua một điểm đã cho và song song với một vectơ đã cho và cân bằng hệ số của các vectơ đơn vị i, j và k, ta có,

<

Khử α ta có:

Điều này cho chúng ta phương trình Descartes của đường thẳng.

Phương trình của một đường thẳng đi qua hai điểm đã cho

Ta coi vectơ vị trí của hai điểm A và B đã cho là a⃗  và b⃗  đối với nguồn gốc. Chúng ta hãy chọn bất kỳ điểm R ngẫu nhiên nào trên đường thẳng và vectơ vị trí của nó đối với gốc của hệ tọa độ hình chữ nhật được cho bởir⃗ .

Điểm R nằm trên đường thẳng AB khi và chỉ khi các vectơ  A R¯¯¯¯¯¯¯¯ và A B¯¯¯¯¯¯¯¯ thẳng hàng. Cũng thế,

A R¯¯¯¯¯¯¯¯ = r⃗  – a⃗ 

A B¯¯¯¯¯¯¯¯ = b⃗  – a⃗ 

Do đó R chỉ nằm trên AB khi;
r⃗ –a⃗ = α (b⃗ –a⃗ )

Ở đây α là một số thực bất kỳ.
Từ phương trình trên có thể thấy rằng với các giá trị khác nhau của α thì phương trình trên cho vị trí của một điểm R bất kỳ nằm trên đường thẳng đi qua điểm A và B. Do đó, phương trình vectơ của đường thẳng đi qua hai điểm cho trước được đưa ra bởi:
r⃗ =a⃗ + α (b⃗ –a⃗ )

Nếu tọa độ ba chiều của các điểm A và B là (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) và (x ₂ , y ₂ , z ₂ ) thì coi tọa độ hình chữ nhật của điểm R là (x, y, z)

Thay các giá trị này vào phương trình vectơ của một đường thẳng đi qua hai điểm đã cho và cân bằng hệ số của các vectơ đơn vị i, j và k, ta có

Khử α ta có:

Điều này cho chúng ta phương trình Descartes của một đường thẳng.

Xem thêm: