Các phép toán đại số trên số phức, xem xong hiểu luôn.

Các phép toán đại số trên số phức

Trong Toán học, các phép toán đại số tương tự như các phép toán số học cơ bản bao gồm cộng, trừ, nhân và chia. Các phép toán đại số được xác định hoàn toàn bằng các phương pháp đại số. Một số luật đại số cơ bản như luật kết hợp, giao hoán và phân phối được sử dụng để giải thích mối quan hệ giữa số lượng các phép toán. Bằng cách sử dụng các định luật này, các biểu thức đại số được giải một cách đơn giản. Vì đại số là một khái niệm dựa trên các giá trị (biến) đã biết và chưa biết, các quy tắc riêng được tạo ra để giải quyết các vấn đề. Trong bài này, chúng ta hãy thảo luận về các phép toán đại số cơ bản trên số phức với các ví dụ.

Số phức là gì?

Về cơ bản, trong Toán học, một số phức được định nghĩa là sự kết hợp của một số thực và một số ảo. Các số thực là các số mà chúng ta thường sử dụng để thực hiện các phép tính toán học. Nhưng các số ảo thường không được sử dụng để tính toán mà chỉ dùng trong trường hợp số phức.

Các phép toán trên số phức

Các phép toán đại số cơ bản trên số phức được thảo luận ở đây là:

• Phép cộng hai số phức
• Phép trừ (Hiệu số) của hai số phức
• Phép nhân hai số phức
• Phép chia hai số phức.

Phép cộng hai số phức

Chúng ta biết rằng một số phức có dạng z = a + ib trong đó a và b là các số thực.

Xét hai số phức z ₁ = a ₁ + ib ₁ và z ₂ = a ₂ + ib ₂

Khi đó phép cộng các số phức z ₁ và z ₂ được định nghĩa là,

z ₁ + z ₂ = (a ₁ + a ₂ ) + i (b ₁ + b ₂ )

Ta có thể thấy rằng phần thực của số phức tạo thành là tổng phần thực của mỗi số phức và phần ảo của số phức tạo thành bằng tổng phần ảo của mỗi số phức.

Tức là, Re (z ₁ + z ₂ ) = Re (z ₁ ) + Re (z ₁ )

Im (z ₁ + z ₂ ) = Im (z ₁ ) + Im (z ₂ )

Đối với các số phức,

z ₁ = a ₁ + ib ₁

z ₂ = a ₁ + ib ₂

z ₃ = a ₃ + ib ₃

……… ..

……… ..

z _n = a _n + ib _n

a ₁ + a ₂ + a ₃ +…. + a _n = (a ₁ + a ₂ + a ₃ +…. + a _n ) + i (b ₁ + b ₂ + b ₃ +…. + b _n )

Lưu ý: Hợp của một số phức z = a + ib được cho bằng cách đổi dấu phần ảo của z được ký hiệu làz¯

z¯= a – tôi b

z+z¯ = 2a

z-z¯ = 2bi

Hiệu của hai số phức

Xét các số phức z ₁ = a ₁ + ib ₁ và z ₂ = a ₂ + ib ₂ , khi đó hiệu của z ₁ và z ₂ , z ₁ -z ₂ được xác định là,

z ₁ -z ₂ = (a ₁ -a ₂ ) + i (b ₁ -b ₂ )

Từ định nghĩa, người ta hiểu rằng,

Re (z ₁ -z ₂ ) = Re (z ₁ ) -Re (z ₂ )

Im (z ₁ -z ₂ ) = Im (z ₁ ) -ImRe (z ₂ )

Lưu ý: Tất cả các số thực đều là số phức có phần ảo bằng 0.

Phép nhân hai số phức

Chúng ta biết khai triển của (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

Tương tự, xét các số phức z ₁ = a ₁ + ib ₁ và z ₂ = a ₂ + ib ₂

Khi đó, tích của z ₁ và z ₂ được xác định là

z ₁ z ₂ = (a ₁ + ib ₁ ) (a ₂ + ib ₂ )

z1z2=a1a2+a1b2tôi +b1a2tôi +b1b2Tôi2

Từ, Tôi2= -1,

z1z2= (a1a2-b1b2) + tôi (a1b2+a2b1)

Lưu ý: Phép nhân nghịch đảo của một số phức

Định nghĩa: Với mọi số phức khác 0 z = a + ib (a ≠ 0 và b ≠ 0) thì tồn tại một số phức khác z- 1 o r 1z được gọi là nghịch đảo nhân của z sao cho zz- 1= 1.

z = a + ib, sau đó z- 1=aa2+b2+ tôi( – b )a2+b2

R e (z- 1) =aa2+b2

Tôim (z- 1) =- ba2+b2

Phân chia các số phức

Xem xét số phức z1 = a1+ tôib1 và z2 =a2+ tôib2, sau đó là thương số z1z2 được định nghĩa là,

z1z2 = z1×1z2

Do đó, để tìm z1z2 , chúng ta phải nhân lên z1 với nghịch đảo nhân của z2.

Xem thêm: 

• Tỷ lệ nghịch là gì? xem xong 5 phút hiểu luôn.
• Biến thể nghịch đảo là gì? xem xong 5 phút hiểu luôn.
• Hàm lượng giác ngược là gì? xem xong 5 phút hiểu luôn