Trước khi suy ra phương trình của một đường tròn, chúng ta hãy tập trung vào một đường tròn là gì? Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm cách đều một điểm cố định trong một mặt phẳng. Điểm cố định được gọi là tâm của đường tròn. Khoảng cách giữa tâm và một điểm bất kỳ trên chu vi được gọi là bán kính của hình tròn . Trong bài viết này, chúng ta sẽ thảo luận về phương trình của công thức đường tròn ở dạng chuẩn là gì và tìm phương trình của đường tròn khi tâm là gốc và tâm không phải là gốc với các ví dụ.

Phương trình của một đường tròn là gì?

Đường tròn là một đường cong khép kín được vẽ từ một điểm cố định được gọi là tâm, trong đó tất cả các điểm trên đường cong có cùng một khoảng cách từ trung điểm của tâm. Phương trình của đường tròn có tâm (h, k) và bán kính r được cho bởi:

(x-h)² + (y-k)² = r²

Vì vậy, nếu chúng ta biết tọa độ của tâm đường tròn và bán kính của nó, chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy phương trình của nó.

Ví dụ: Nói điểm (1,2) là tâm của đường tròn và bán kính bằng 4 cm. Khi đó phương trình của đường tròn này sẽ là:

(x-1) ² + (y-2) ² = 4 ²

(x ² −2x + 1) + (y ² −4y + 4) = 16

X ² + y ² −2x – 4y-11 = 0

Chức năng hay không

Chúng ta biết rằng có một câu hỏi đặt ra trong trường hợp đường tròn có phải là một hàm hay không. Rõ ràng rằng một đường tròn không phải là một hàm. Bởi vì, một hàm được xác định bởi mỗi giá trị trong miền được liên kết chính xác với một điểm trong miền đồng, nhưng một đường thẳng đi qua đường tròn, cắt đường thẳng tại hai điểm trên bề mặt.

Cách toán học để mô tả đường tròn là một phương trình. Tại đây, phương trình của đường tròn được cung cấp đầy đủ các dạng như dạng tổng quát, dạng chuẩn cùng với các ví dụ minh họa.

Phương trình của một đường tròn khi tâm là điểm gốc

Xét một điểm P ( x ,  y ) tùy ý   trên đường tròn. Hãy một ‘  là bán kính của vòng tròn tương đương với  O P .

Chúng ta biết rằng khoảng cách giữa điểm  ( x ,  y )  và điểm gốc  ( 0 , 0 ) có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức khoảng cách bằng-

√ [ x ² +  y ² ] = a

Do đó, phương trình của một đường tròn, với tâm là gốc tọa độ,

x ² + y ² = a ²

Trong đó “a” là bán kính của hình tròn.

Phương pháp thay thế

Hãy để chúng tôi suy luận theo một cách khác. Giả sử (x, y) là một điểm trên đường tròn và tâm của đường tròn là điểm gốc (0,0). Bây giờ nếu chúng ta vẽ một đường vuông góc từ điểm (x, y) đến trục x, thì chúng ta sẽ có một tam giác vuông, trong đó bán kính của đường tròn là cạnh huyền. Cơ sở của tam giác là khoảng cách dọc theo trục x và chiều cao là khoảng cách dọc theo trục y. Do đó, bằng cách áp dụng định lý Pythagoras ở đây, chúng ta nhận được:

x ² + y ²  = bán kính ²

Phương trình của một đường tròn khi tâm không phải là điểm gốc

Gọi  C ( h ,  k )  là tâm của đường tròn và  P ( x ,  y )  là điểm bất kỳ trên đường tròn.

Do đó, bán kính của hình tròn là CP.

Bằng cách sử dụng công thức khoảng cách,

(xh) ²  + (yk) ² = CP ²

Gọi bán kính là ‘a’.

Do đó, phương trình của đường tròn có tâm (h, k) và bán kính ‘ a’  là,

(xh) ² + (yk) ² = a ²

được gọi là dạng chuẩn cho phương trình của một đường tròn.

Phương trình của một đường tròn ở dạng tổng quát

Phương trình tổng quát của bất kỳ loại đường tròn nào được biểu diễn bằng:

x ² + y ² + 2 g x + 2 f y + c          =  0 , với mọi giá trị của  g ,  f  và  c .

Thêm  g ² + f ²    vào cả hai vế của phương trình sẽ cho,

x ² + 2 g x + g ² + y ² + 2 f y + f ²          =  g ² + f ² – c      ……………… (1)

Vì  ( x + g ) ²  =  x ² +  2 g x  +  g ²  và  ( y + f ) ²  = y ²  +  2 f y  +  f ²  thay các giá trị trong phương trình (1), ta có

( x + g ) ² +  ( y + f ) ²  =  g ²  +  f ² – c  ……………. (2)

So sánh (2) với  ( x – h ) ²  +  ( y – k ) ²  =  a ² , trong đó  ( h ,  k )  là tâm và ‘ a’  là bán kính của đường tròn.

h = – g ,  k = – f

a ²  =  g ² +  f ² – c

Vì thế,

x ²  +  y ²  +  2 g x  +  2 f y  +  c  =  0 , biểu diễn đường tròn có tâm  ( – g , – f )  và bán kính bằng  a ²  =  g ²  +  f ² –  c .

• Nếu  g ²  +  f ²  >  c thì bán kính của đường tròn là thực.
• Nếu  g ²  +  f ²  =  c , thì bán kính của đường tròn bằng 0, điều này cho chúng ta biết rằng đường tròn là một điểm trùng với tâm. Loại đường tròn như vậy được gọi là đường tròn điểm
• g ²  +  f ²  < c thì bán kính đường tròn trở thành ảo. Do đó, nó là một đường tròn có tâm thực và bán kính ảo.

Các công thức vòng tròn khác

Dưới đây là một số công thức cho đường tròn về bán kính.

Làm thế nào để Tìm phương trình của đường tròn?

Ở đây, một số bài toán đã giải được đưa ra để tìm phương trình của đường tròn trong cả hai trường hợp như khi tâm của đường tròn là gốc và tâm không phải là gốc được đưa ra dưới đây.

Ví dụ 1:

Xét một đường tròn có tâm là gốc và bán kính bằng 8 đơn vị.

Giải pháp:

Cho: Tâm là (0, 0), bán kính là 8 đơn vị.

Ta biết rằng phương trình của đường tròn khi tâm là gốc:

x ² +  y ²  = a ²

Với điều kiện đã cho, phương trình của một đường tròn là

x ²  +  y ²  = 8 ²

x ²  +  y ² = 64, là phương trình của một đường tròn

Ví dụ 2:

Tìm phương trình của đường tròn có tâm là (3,5)  và bán kính là 4 đơn vị.

Giải pháp:

Ở đây, tâm của vòng tròn không phải là điểm gốc.

Do đó, phương trình tổng quát của đường tròn là,

(x-3) ²  + (y-5) ²  = 4 ²

x ²  – 6x + 9 + y ²  -10y +25  = 16

x ²  + y ²  -6x -10y + 18  = 0

Ví dụ 3:

Phương trình của đường tròn là  x ² + y ² – 12 x – 16 y + 19 = 0 . Tìm tâm và bán kính của đường tròn.

Giải pháp:

Phương trình đã cho có dạng  x ² + y ² + 2 g x + 2 f y + c         =  0 ,

2 g  =  – 12 ,  2 f  =  – 16 , c  =  19

g  =  – 6 , f  =  – 8

Tâm của đường tròn là  ( 6 , 8 )

Bán kính của hình tròn =  √ [ ( – 6 ) ² + ( – 8 ) ² – 19      ] =  √ [ 100 – 19]    =

=   √81 =  9  đơn vị.

Do đó, bán kính của hình tròn là 9 đơn vị.

Để biết thêm về các vòng kết nối, hãy tải BYJU’S – Ứng dụng Học tập để học một cách dễ dàng.